这篇学位论文主要由以下三部分组成。在第二章,我们证明了带有如下临界或者超临界位势项的一致椭圆与抛物方程的弱解是Holder连续的。这时,经典的DeGiorgi-Nash-Moser理论不再适用。我们也证明了,在某些特殊的情况下,弱解是可微的。这部分内容是同张旗教授合作完成。在第三章里,我们构建了如下带有反平方位势项和非齐次项的一致椭圆方程的Schauder估计,这导出了经典解的存在性和一个强的正则性。具体地说,我们证明了如果f∈Cn,γ、aij∈Cn,γ并且A>∧(2+ n +γ)(d+n+γ),则解u ∈ Cn+2,γ。第四章将由两个主要结论组成。首先我们给出了在轴对称条件下,算子-(△-1/r2)的热核与格林函数,以及其格林函数的一些加权Lp估计。这将成为我们研究轴对称NS方程的一个工具。作为它的应用,我们证明了一个轴对称NS方程关于角向涡度ωθ的一个临界(或者次临界)的正则性判定条件。然后,我们将在ur和uz带有一个log超临界条件,复合上uθ带有一个log次临界条件下,证明轴对称NS方程解的正则性。这部分内容将出现于作者同潘星宏博士合作的论文中。