有限元方程的高效求解是CAD/CAE软件的关键基础技术之一,也是制约我国CAD/CAE软件发展的瓶颈之一。重分析方法是在初始结构的位移求解结果或中间信息的基础上,对修改结构的位移进行快速求解的一种方法。重分析方法对有限元分析中的结构修改问题,如精化设计、结构拓扑优化、裂纹扩展等计算效率的提高具有重要意义。优秀的重分析方法可以避免对修改后的结构进行完整分析,使计算成本显著降低,进而缩短产品设计周期。作为最一般的修改形式,拓扑修改包含了结构构型的改变,广泛存在于各类实际问题中。因此,对拓扑修改的重分析方法开展研究有重要的学术意义与工程应用前景。近年来,重分析在近似与直接法方向均有长足的进步,尤其是非拓扑重分析方面。拓扑修改涉及结构构型改变,带来有限元模型自由度与单元的同时增删,在有限元方程中对应为刚度矩阵阶数的改变,仍然是重分析领域的挑战性问题之一。在现有研究中,近似重分析方法一般可以对特定问题快速得到近似响应,但通常限于中小修改,实践表明对大修改的准确性有待提高。直接重分析法能够对大修改给出精确解,然而,早期的隐式解修正法如SMW公式等通常在面对高秩修改时因效率急剧下降而失效;近期的分块求逆方法在效率上有所改进,但要求预知修改位置与范围。此外,大多数直接法未考虑当今有限元方程求解技术的发展,不能与现有CAE软件的百万自由度量级以上的大规模求解能力匹配。新近发展的矩阵分解因子更新法对局部高秩修改十分高效,且方法与目前CAE软件求解技术的数据结构相匹配。然而,这一方法依赖的图剖分填充元优化状态和数据结构在拓扑修改时一般会受到破坏,不能直接用于拓扑修改。本文(1)针对一般拓扑修改带来的挑战,在与现有主流稀疏求解匹配的分解因子更新法基础上,发展了一种全新的拓扑重分析直接法。方法具有准确、高效、适用范围广的特点,与当前CAE软件求解方案匹配。本文主要工作如下:1)固定背景网格的拓扑重分析直接法针对拓扑修改下填充元优化状态的失效问题,方法利用固定背景网格下最大填充空间已知的特点,引入完整结构概念予以规避。其核心是在结构拓扑修改时,不改变方程的相对排序,从而维持了近似的填充元优化状态。此外,相比于非拓扑修改,拓扑修改重分析需要对稀疏矩阵的数据结构进行修改,形成符号变化,即矩阵行列、非零元增删的符号变换方案。为了与稀疏有限元方程求解规模匹配,方案仅在原矩阵内存空间中进行数据移动,占用额外内存消耗可忽略。将以上符号变换与分解因子更新的数值处理相结合,建立了拓扑重分析直接法。该方法被应用于施工模拟与拓扑优化过程,显示出高效与高适应性的特点。2)自适应背景网格下拓扑重分析直接法进一步地,针对自适应背景网格下修改问题发展了拓扑重分析直接法。通过细致研究拓扑修改对填充元优化状态的影响,提出了图剖分更新方案,实现了随拓扑修改的填充元优化近似排序更新。此外,由于图剖分更新涉及DOF换序,本文进一步发展了稀疏存储数据结构下的矩阵置换操作。将以上符号工作与分解因子更新的数值处理相结合,发展了相应的拓扑重分析直接法,这一方法不再需要固定的背景网格,能够处理任意未知单元修改时矩阵填充元优化排序的更新,适用于最一般的拓扑修改,可用于裂纹扩展、网格自适应加密等问题。3)动力特征值问题拓扑修改重分析法最后,本文以子空间迭代法为基础,发展了动力特征值问题拓扑修改重分析法。方法将子空间迭代法分为刚度矩阵分解与空间迭代两部分。在前一部分中引入本文的静力重分析法快速获得修改结构的分解矩阵;在后一部分对拓扑修改下的初始迭代空间进行构造,在原模态基础上对新增自由度取随机值、划去删除自由度构造初始迭代空间,发展了拓扑修改的特征值重分析方法。面对一般拓扑修改的挑战,本文提出了对于局部高秩修改高效的拓扑重分析直接法,其在修改过程中显式地更新分解矩阵,能够获得不考虑舍入误差意义下的精确结果,可用于多步修改积累问题。方法可以处理不同类型的拓扑修改,包括背景网格固定的情况(例如施工模拟分析、结构拓扑优化)和更高级的拓扑修改形式——背景网格自适应的情况(例如裂纹扩展)。方法对修改的限制较弱,不需预知修改位置,不同修改步的修改位置可变,仅因效率考量要求修改是局部的。本文方法与现有稀疏求解方案兼容,能方便地嵌入有限元软件。算例表明,本文方法可用于百万阶大规模问题的多步局部高秩修改,能够胜任实际工程问题的计算,具有巨大的应用价值。