上世纪90年代初期建立起来的基于变分的数字图像处理模型以及近年来在小波分析基础上建立起来的稀疏优化理论与方法是目前数字图像处理领域的两类重要的数学工具，与上述两种理论相关的应用研究已经成为数学影像学的热点方向．本文以全变分（TV）与稀疏优化理论的结合作为主要数学工具以克服已有模型和方法的缺陷，系统研究了数字图像恢复问题的有效模型和算法．本文的研究工作和创新点主要体现在以下几个方面：提出了一种基于对偶方法的全变分图像恢复快速算法模型．为了解决原-对偶变分模型求解的困难，通过引入一阶有限差分矩阵，分离对偶变量在垂直方向与水平方向上的分量，从不同的角度对原-对偶变分模型进行描述．在此基础上，设计了基于原-对偶变分模型的快速算法，并给出了PDHGD算法及其改进算法以及SGD(CH)算法的统一迭代公式．提出了可应用于全变分图像恢复的近似点算法．通过建立一种新的全变分图像恢复的一阶格式，得到了一般形式的近似点算子模型．目前广泛使用的基于TV模型的恢复算法，例如Chambolle投影法、分裂Bregman迭代法、Bermúdez-Moreno算法、Jia-Zhao去噪法和不动点算法，都可被看作是本文方法的特殊情况．并从理论上分析了算法的收敛性，数值实验表明了算法的正确性与有效性．提出了一种基于鲁棒主成分分析（RPCA）的数据缺损的低秩矩阵恢复方法．在一定条件下，可以将该问题转化为核范数与l1范数相结合的凸优化极小化方法来精确求解．本文提出了一种利用Douglas-Rachford分裂法求解RPCA问题的有效算法．首先通过去除变量的约束条件来求解凸优化问题，然后交替计算目标函数的近似算子．该算法可以同时进行低秩与稀疏分量的精确恢复．从理论上证明了算法的收敛性，数值实验验证了算法的正确性与有效性．建立了一个新的关于基追踪问题的一阶最优化条件，该条件为不动点迭代算法中惩罚参数的自适应选取提供了一个新的方法，并将其应用于矩阵补全．稀疏向量恢复以及低秩矩阵补全的数值实验验证了理论结果的正确性与算法的有效性．提出了基于压缩感知（CS）的非均匀线阵的波达方向（DOA）估计方法．通过设计信号稀疏表示与稀疏采样相对应的稀疏矩阵与测量矩阵，建立了基于非均匀线阵DOA估计的CS模型与系列算法．数值实验结果表明，与传统的方法相比算法精度与分辨率等方面有较大提高，其中，CS-MUSIC和CS-RMUSIC算法性能提高更为显著．