近年来,随着分数阶微分方程的应用越来越广泛,众多学者开始关注分数阶微分方程,并对分数阶边值问题做了大量的研究.在此基础上,本文利用变分方法、上下解方法、单调迭代法、迭合度方法以及不动点定理等方法研究几类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的可解性,得到一些解存在的结果,所得结果在一定程度上推广和完善了一些已有工作.全文分六章.第一章简单介绍所研究问题的背景、意义和研究现状,叙述了本文的主要工作以及分数阶微积分一些相关的定义和性质.第二章用临界点理论研究两类分数阶p-Laplacian方程Sturm-Liouville边值问题的可解性.首先用Nehari流形方法,给出在非线性项满足弱于超p次Ambrosetti-Rabinowtiz型的条件时基态解的存在性定理.据我们所知,该问题基态解的存在性还未曾研究过.其次,在非线性项f=f1+f2,f1满足弱于超p次Ambrosetti-Rabinowtiz型的条件,f2是无穷远处的次线性增长时,利用临界点理论得到两个非平凡弱解的存在性定理.对此类问题的研究以往的工作多是利用Ambrosetti-Rabinowtiz条件,所以本章结果改进、丰富了以往的相关结果.第三章在变分框架下研究具有脉冲效应的分数阶p-Laplacian方程Sturm-Liouville边值问题及耦合系统的多解性,在非线性项满足一类新的条件及脉冲函数满足次线性条件时,利用三临界点定理得到上述问题至少有三个弱解的存在性结果,并用亏格的性质得到Sturm-Liouvlle边值问题无穷多解的存在性结果.关于带脉冲效应的分数阶p-Laplacian方程Sturm-Liouville边值问题尚未见到有类似研究.与已有相关工作相比,将方程和边值条件推广到更一般的形式并且弱化了已有的相关条件.第四章用上下解方法研究分数阶p-Laplacian方程边值问题最大(小)解的存在性和唯一性.首先用正向上下解研究一类分数阶p-Laplacian微分方程,在不同边界条件下最大(小)解的存在性和唯一性.通过建立新的比较原理,利用上下解和单调迭代方法,得到上述问题最大(小)解的存在性和解的唯一性结果.其次在反向上下解条件下研究一类带p-Laplacian算子的分数阶边值问题最大(小)解的存在性.通过建立反向上下解下几个新的比较原理,利用单调迭代法,得到该类问题最大(小)解的存在性结果.对正向上、下解,将已有的带线性微分算子问题推广到带拟线性微分算子边值问题.对反向上、下解,由于上、下解反序,使得基于反向上下解建立比较定理很困难,目前尚未见到用反向上下解方法研究带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题最大(小)解的存在性.第五章研究变指数分数阶p(t)-Laplacian方程共振边值问题的可解性.首先研究一类带p(t)-Laplacian算子的分数阶周期共振边值问题解的存在性.由于变指数算子p(t)-Laplacian是非线性的,不能直接使用Mawhin连续定理.为此,本章建立了新的连续定理,在此基础上,得到周期共振边值问题解的存在性结果.其次,在高维核空间情况下,研究一类带p(t)-Laplacian算子的分数阶积分共振边值问题解的存在性.通过适当变换,将非线性p(t)-Laplacian算子方程转化为线性微分算子方程,然后利用连续定理,证明积分共振边值问题解的存在性.与已有相关工作相比,所研究的问题更一般,其对应核空间的维数更高.第六章总结本文的主要工作,并对以后的研究进行了展望.