【摘 要】
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设D是图G的一个定向,f是E(G)到Z的一个函数,满足对于任意的e∈E(G)都有-k<f(e)<k.若对于图G中每个点v∈V(G),都满足Kirchhoff条件∑_(e∈E+(v))f(e)=∑_(e∈E-(v))f(e),其中E+(v)和E-(v)分别表示在定向D下与v关联的出去的边和进来的边的集合,则称有序对(D,f)是一个k-流.若对于每条边e∈E(G),都有f(e)?=0,则称
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设D是图G的一个定向,f是E（G）到Z的一个函数,满足对于任意的e∈E（G）都有-k∑e∈E+（v）f（e）=∑e∈E-（v）f（e）,其中E+（v）和E-（v）分别表示在定向D下与v关联的出去的边和进来的边的集合,则称有序对（D,f）是一个k-流.若对于每条边e∈E（G）,都有f（e）?=0,则称k-流（D,f）是处处非零的.设Zk表示阶数为k的循环群,若图G中存在定向D,使得对于任意函数b:V（G）→Zk满足∑v∈V（G）b（v）=0都存在函数f:E（G）→Zk-{0}使得对于任意点v∈V（G）,都满足b（v）=∑e∈E+（v）f（e）-∑e∈E-（v）f（e）,则称图G是Zk-连通的.英国著名的数学家凯利于1872年向伦敦数学学会提出的四色问题,又称为四色猜想,是图论中经典的问题之一,这个猜想与哥德巴赫猜想,费马猜想并称为世界近代三大猜想.1954年加拿大著名的数学家Tutte在研究四色问题时,引入了整数流的概念,并提出了著名的3-流猜想:每个4-边连通图都存在处处非零3-流.在1992年,数学家Jaeger将整数流的概念进行了扩充,加入了群连通的概念,提出了与之相应的Z3-连通猜想:每个5-边连通图都是Z3-连通的,此猜想的提出为3-流猜想的研究提供了另一种思路.本文基于四色问题的研究现状,围绕着3-流猜想及Z3-连通猜想.在Luo等人[Graphs and Combin.,2013,（29）:1899-1907]研究的基础上,运用收缩、剖点、反证和归纳等方法研究了独立点数不超过3的图的处处非零3-流及Z3-连通性.并得出如下三个重要结论:（1）独立点数为2的4-边连通图是Z3-连通的;（2）独立点数为2的3-连通图是Z3-连通的当且仅当它不是K4,W5及一类特殊的图;（3）独立点数为3的4-边连通图存在处处非零3-流.具体内容分三章进行论述.第一章,首先介绍了论文中所涉及的相关知识、术语符号及基本概念,然后调查了3-流猜想与Z3-连通猜想的背景、研究现状和存在的问题,最后提出了本文所要研究的主要内容.第二章,基于对3-流猜想与Z3-连通猜想的前期调查研究,然后列出并证明了与群连通相关的几个重要引理,为接下来本文主要内容的证明做了充足的理论准备.第三章,通过前期充分的准备,采用反证及归纳等推理论证的方法证明了本文的主要内容,完整地阐述了独立点数不超过3的图的处处非零3-流及Z3-连通性,这为今后对3-流猜想的进一步研究提供了理论依据.最后,对本文的全部内容进行了简要分析与总结,并说明了本论文的意义.
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