本学位论文主要研究复n维空间中Lebesgue测度和可由密度函数表出测度的星体截面的比较问题以及凸几何中重要分析不等式的改进。　　根据欧氏空间中星体截面和凸体投影的性质，Koldobsky建立了凸几何中复空间的相应理论。Koldobsky的成果不仅开拓了研宄凸几何的新方向，同时也提供了新的研宄方法和技巧。Funk’s截面定理作为凸几何中的经典定理，研宄它在复n维空间中的存在情况有着十分重要的意义。在研宄过程中发现，欧氏空间中Funk’s截面定理给出的是原点中心对称的星体，而复n维空间中定理成立的条件是一种更特殊的星体-广义复截面体，其重要原因是无法证明出复n维空间中广义截面体在原点中心对称星体中的稠密性。本学位论文研宄的第二个方面是，复n维空间中可由密度函数表出测度的Funk’s截面定理，与Zvavitch得出的由密度函数表出测度的Busemann-Petty问题相似。　　仿射形式的Gagliardo-Nirenberg不等式与Blaschke-Santal<5不等式的分析形式都是凸几何分析中两个重要的不等式。本文我们通过应用广义Lp投影体和广义Lp矩体的支撑函数对这两个分析不等式进行改进，得出它们较广泛的情形。