随着社会的进步和科学技术的发展,在计算机视觉领域,我们采集到的图像数据相比于以前有两大明显特征:1.数据量变大;2.数据内蕴含的非线性信息变丰富。首先,数据量的变大使得基于图像集分类的方法成为可能。相比于传统的基于单张图片的分类方法,基于图像集的分类方法有更好的容错性,并且可以充分挖掘数据内部蕴含的相关信息。此外,由于传统的机器学习方法是基于欧氏空间理论的,因此难以有效挖掘数据中蕴含的非线性结构信息。但是,以微分几何、黎曼几何等理论为基础的流形学习方法可以有效的处理非线性数据,并且能充分挖掘数据的相关性信息,因此开始受到研究者越来越多的关注。因此,本文的研究重点主要在于黎曼流形学习及其在图像集分类中的应用。本文从黎曼流形学习的数学理论出发,回顾经典流形学习算法,提出改进算法。本文主要有以下贡献:1.从分析、代数、几何和优化等方面,系统介绍了与流形学习相关的最核心的数学理论。对于其中一些抽象的数学理论,也给出了一些直观的解释。此外,介绍了计算机视觉中常见的四种流形。同时,本文根据算法所涉及数学原理的深浅,从全新的角度对经典的流形学习算法进行了分类,并作了一定的讨论和对比。2.在浅层黎曼流形方法中,不同的黎曼流形蕴含着互补的统计信息。单流形建模难以充分利用这些互补信息,因而难以处理复杂情景下的分类任务。针对上述情况,多流形方法开始受到学者的关注。但是,多流形建模引入的计算负担又使得该方法的使用场景受限。因此,本文提出了多图嵌入的多流形度量学习算法。通过稀疏的图嵌入,使多流形的计算负担大大减少。该方法在多个数据集上取得了较好的实验结果。3.随着深度学习的成功,流形学习的研究中也开始出现深度黎曼网络。但是大多数现有的黎曼深度网络仅关注全局几何信息,无法有效的挖掘局部几何信息。针对这种情况,本文基于范畴论,将传统方法中的局部机制拓展到深度流形网络中,并在多个数据集上获得了较好的结果。4.在现有的深度黎曼网络中,对于流形降维层和欧式嵌入层的研究较少。但这种基础的研究却是十分重要的。本文基于黎曼几何理论,对矩阵对数进行了深入的分析,研究了矩阵对数诱导出的欧氏嵌入映射、Lie群同态和黎曼淹没（浸入）,并将其应用于黎曼深度网络中。对于所提的两种自适应的欧氏嵌入层,本文在两个数据集上验证了其有效性。对于提出的Lie群同态和黎曼淹没（浸入）的理论框架,本文就如何应用于黎曼深度网络也做了一定的讨论。