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随着计算机软硬件技术的不断进步、三维信息获取技术的不断发展，越来越多的三维数据出现在人们面前。利用计算机辅助设计造型软件，可以得到三维模型；借助三维扫描设备，可以得到三维深度数据；而通过计算机断层扫描或者核磁共振进行三维重建，可以得到物体的三维体数据。三维模型的不断增加，使得其在计算机中的应用也越来越广泛。
对目前现有的、大规模的三维数据，以及每天大量产生的三维模型，进行几何特征的描述，进而实现管理与检索，就成为一个十分重要的问题。1872年，F.Klein提出历史上著名的Erlangen纲领，指出几何就是研究空间中的图形在某个变换群的作用下不变的性质。对于欧氏空间中线性变换下三维模型几何特征的研究，已有多年的历史，涌现出了大量有效的方法，如矩不变量等。而对于现实生活中经常存在的一类非线性变换-等距变换-的研究，却才刚刚兴起。
真实的三维空间中，存在着很多等距变换的物体，例如人手的不同姿态，人体的不同运动状态，一张纸平展或者弯成一个曲面，一定程度上的人脸表情变化等等。这些变换有一个共同的特点：如果只考虑三维物体表面的话，在这种变换的前后，物体表面的内在长度属性并没有变化或者变化很小，也就是说，物体表面曲线基本没有拉伸或者收缩，这就可以近似看成是一种等距变换。
在三维数据越来越普及和应用越来越广泛的背景下，本文提出了一种构造等距不变量的新方法，并进行了扩展，将其作为等距变换下三维模型的几何特征描述，探索如何使用它来检测、识别和检索实际应用中的三维数据。
本文的工作集中于等距不变量的理论推导与扩展，并探索其在三维模型检索、三维人脸识别以及对称物体检测中的应用。本文的主要工作和创新点如下：
1)提出了一类等距不变量的统一构造框架，可以得到任意阶次的等距不变量，并且进行了推广，可以适用于描述等距变换、受限等角变换和等面积变换等非刚体变换下的曲面物体。此外，对等距不变景进行扩展，还可以得到描述模型局部等距性质的局部等距不变量、检测镜像等距对称物体的镜像等距不变量。
2)提出了一种适用于三维人脸的等距不变量，按照到鼻尖测地距离将三维人脸表面划分成多层次区域。在多层次区域上对不变核进行积分，得到等距不变量，并尝试将其用于表情变化的三维人脸识别，得到了较好的识别结果。
3)提出了一种检测等距对称物体的新方法。采用局部等距不变量检测物体自身的等距对称点。针对有部分面片缺失的模型，提出一种局部等距不变量的计算策略，进而找到不完整模型上的内蕴等距对称点。利用镜像等距不变量来检测物体与物体之间是否满足镜像等距对称。
4)提出了一种三维人脸坐标系的构建方式，基于人脸的生理结构，结合人脸曲面上的微分几何特征，选取人脸表面颧骨处的圆点区域，构建规范化的三维人脸坐标系，对三维人脸姿态进行校正。
5)提出了一种基于学习的模型检索方法，用等距不变量作为模型的特征描述，采用卡方距离将多分类问题转化为类内、类间的二分类问题，再利用支持向量机训练后的分类信息，提高模型检索的精度。