反问题和奇异摄动问题广泛存在于科学和工程实践中,反问题大多具有不适定性,由于奇异摄动参数的影响,奇异摄动问题的精确解会在求解区域内产生剧烈的变化,这使得通常的数值方法不能够得到这些问题数值稳定的近似解。所以,越来越多的学者开始关注这些问题稳定的数值算法。本文主要研究反问题和奇异摄动问题的变分方法,该方法以变分理论为基础,其主要优势在于该方法能为求解实际问题提供强大的理论框架,可使病态问题表现为一个适定问题。主要研究内容如下:第二章给出偏微分方程源项反问题和系数反问题的反演方法,提出利用间接法对问题进行反演。基于这种思想,通过给定的附加条件得到与原方程等价的非线性方程,用等价方程的解对精确解进行近似。由于要考虑求解过程中误差的积累对方程数值解的影响,本文引入变分迭代法给出等价的非线性方程的数值解,该方法的特点在于能够通过较少的迭代步数得到很好的数值结果。在数值例子与实验方面,举例说明方法的实现过程,并对附加条件进行扰动实验。第三章研究了奇异摄动问题的数值算法,提出三种改进的变分迭代法用于求解非线性二阶奇异摄动初边值问题。一方面,针对传统变分迭代法的不足,提出了求解长区间上的Lane–Emden方程的分段变分迭代法。该方法是在长区间上,将区间分段,在每个小区间上应用变分迭代法,克服了传统的变分迭代法只在小区间范围收敛的缺陷,并为了保证方法的稳定性,进行了收敛性分析与误差估计;另一方面,对于摄动问题,将变分迭代法与摄动技术巧妙的结合在一起,小参数的摄动技术能够消除摄动参数对数值求解过程的影响,而变分迭代法在很多情况下能够得到快速收敛解。变分迭代-摄动方法结合了这两种方法的优势,能够有效的求解非线性二阶摄动初值问题;此外,对于边值问题,由于变分迭代法给出的迭代公式不能直接推导出迭代结果满足边值条件,已有的处理办法是在迭代初值中加入待定常数,但当非线性项很复杂时,这个待定常数很难确定,所以本文将打靶法与变分迭代法结合,很好的解决了这个问题,得到了收敛快、精度高的打靶-变分迭代法。在第四章中,针对变分原理在反问题方面的实际应用——图像去噪问题,提出一种基于凸与非凸函数耦合的能量泛函的变分模型,基于该变分模型利用变分原理得到对应的偏微分方程用于图像去噪。该方程是正倒向扩散的,非常适用于对分片常值图像进行图像去噪。由于非凸函数的引入,要考虑方程解的存在唯一性,本文提出用Young测度理论论证方程弱解的存在性,在一定的附加条件下,论证Young测度解的唯一性,并利用Young测度解的性质说明模型的合理性。在数值实验方面,本文提出用PM方法的离散格式和AOS离散格式对所得偏微分方程进行数值计算,另外,提出用图像的峰值信噪比和结构相似度来评价去噪效果。实验的数值结果表明,本文提出的模型不但可以消除PM模型的斑点效应,避免TV模型的阶梯效应,还可以很好的保护边界。与这两种经典模型相比,新模型无论从视觉效果上还是从图像去噪评价指标上都优于其它模型。