本文简要论述了求解薛定谔方程解析解与数值近似解的方法,研究了多项正幂与逆幂势函数叠加条件下径向薛定谔方程的解析解。根据量子系统波函数必须满足单值、有界和连续的标准条件,首先求出径向坐标r→∞以及r→0时的解析解,然后采用奇点邻域附近的级数解法与求得的渐近解相结合,确定指标s以及幂函数各项系数的约束关系,通过幂级数系数比较法得到势函数为V ( r)= a1r6 +a2r2+a3r?4 +a4r?6的径向薛定谔方程的一系列定态波函数解析解以及相应的能级结构,并利用MATLAB等工具软件作出波函数分布图形。要得到上述势函数的径向波函数的解析解,幂函数各项的系数之间必然存在某种约束关系,换言之,幂函数之间存在紧密地耦合关系。一般说来多种势叠加的条件下薛定谔方程不可能存在解析解,本文初步找到了存在解析解的条件并且求出了解析解以及相应的能级结构,为寻求系统的解析解提供了一种严谨而有效的方法。根据上述求解薛定谔方程的思路,本文通过引入幂函数叠加势来探索在标量势和矢量势的相等条件下,求解Klein-Gordon方程或Dirac方程的s波束缚态解析解的可行性。应用分离变数法,求得具有标量势和矢量势的Klein-Gordon方程的角向方程和径向方程;采用连续分数法具体求解了在标量势和矢量势的相等条件下,幂函数叠加势为V = 1/2 r 2 + A / r 2 + B / r 4 + C /r6的Klein-Gordon方程或Dirac方程的s波束缚态,求得了s波束缚态能级与能级波函数的通解。其结果表明体系处于束缚态时,势参数必须满足一定的约束条件。在非相对论情况下叠加势的解法可以推广到相对论情况,确定了束缚态的解析形式。也为数值计算提供了重要的参考。