图论的基本概念之一，图G的连通度，被定义为满足G Q是不连通的或平凡的G的顶点子集Q的最小基数。Whitney的一个著名定理提供了连通度的一个等价定义。对V（G）的每个2元子集S={u,v}，令κ（S）表示在G中内部不交uv-路的最大数目。那么κ（G）=min{κ（S）}，其中最小值是通过取遍V （G）的所有2元子集S得到的。Chartrand等人推广了连通度的概念。令G是一个顶点数为n的非平凡连通图，且令k是一个满足2≤k≤n的整数。对包含G的k个顶点的集合S，令κ（S）表示在G中边不交的树T₁,T₂,...,T的最大数目，其中对每一对不同的整数i, j（1≤i, j≤）都满足V（T_i）∩V （T_j）=S。那么G的k-连通度，用κ_k（G）表示，被定义为κ_k（G）=min{κ（S）}，其中最小值是通过取遍V （G）的所有k元子集S得到的。于是有κ2（G）=κ（G）。此外κ_n（G）恰恰就是G的边不交生成树的最大数目，那么Nash-Williams和Tutte的一个著名定理可以被重新表述如下：对任何图G，κ_n（G）≥k当且仅当对G的顶点集的每个划分P，G都至少有k（|P|1）条端点在不同划分集中的交叉边。广义连通度不仅是一个自然的组合度量，而且它在实际应用中有趣的解释也可以激发人们的兴趣。本论文分为四章。在第一章中，我们介绍了广义连通度的定义及其背景，并给出了本文中涉及到的相关概念、术语和记号。我们还列举了广义连通度的相关结果，包括本文的主要研究结果。对一般的图G及一般的正整数k，要得到κ_k（G）的精确值是非常困难的。因此在第二章，我们首先致力于κ₃的研究，并主要考虑图的2-连通度和3-连通度之间的关系。我们得到了对一般图G，κ₃（G）的紧的上界和下界，并分别构造了达到这个上界和下界的两类图。接下来我们证明了如果G是一个连通可平面图，那么κ（G）1≤κ₃（G）≤κ（G），并给出了达到这个上下界的一些图类。最后我们讨论了κ_k和κ_k-1之间的关系，并得到对三次图G，κ_k（G）≤κ_k-1（G）成立，其中3≤k≤n，但是对一般的图G，这个论断是不成立的。我们还证明了如果3≤k≤6，那么对任何图G，κ_k（G）≤κ（G）成立，但是对任何大于等于7的整数k，我们总是可以给出一个满足κ_k> κ的图。在第三章中，我们对决定图的广义连通度的复杂性问题进行了研究。首先我们给出了一个算法来判定对一般的图G是否κ₃（G）≥k。这个算法是在多项式时间内运行的如果k是一个固定的正整数。这就意味着对有小的最小度或小的连通度的图而言，决定κ₃（G）的问题可以在多项式时间内解决。特别地，判定一个可平面图G是否κ（G）=κ₃（G）的问题也可以在多项式时间内解决。接着，通过推广判定是否κ₃（G）≥k的算法，我们得到如果k1和k2是两个固定的正整数，那么给定图G和V（G）的一个k1元子集S，判定G是否包含k2棵连接S的内部不交树的问题可以在多项式时间内解决。但是当k1是一个至少为4的固定的整数且k2不是一个固定的整数时，我们证明这个问题是NP-完全的。另一方面，当k2是一个至少为2的固定的整数且k1不是一个固定的整数时，我们证明这个问题也是NP-完全的。在这章的最后，我们给出了关于广义连通度的2个猜想。在第四章中，我们考虑了满足κ₃≥2的图的边数的一些极值问题。我们首先研究了保证κ₃≥2的极小边数，并得到给定任何大于等于4的正整数n，存在一个最小的整数f（n）=n23n22+3，使得每个顶点数为n，边数e（G）≥f （n）的图G都有κ₃（G）≥2。接下来我们研究了满足κ₃=2的图的极小边数。对一个顶点数为n，边数为e（G）且满足κ₃（G）=2的图G，我们证明了e（G）≥65n，并且对所有大于等于4除了9,10以外的n，这个下界都是紧的。对于n=9,10，我们给出了例子证明65n+1是最好可能的下界。最后我们研究了对κ₃=2是极小的图G的边数。我们给出了e（G）的紧的下界，但是对于e（G）的紧的上界g（n），我们只得到2n4≤g（n）≤3n10。确定g（n）的精确值仍然是一个公开问题。