本硕士论文由两部分组成.第一部分是文献综述,首先简明介绍了非线性泛函分析的发展历史以及本文所讨论的问题,最后列出了一些已有的重要结果.第二部分讨论了微分方程解的存在性问题,同时涉及到解的唯一性及多解性问题.首先利用不动点定理讨论了二阶微分方程Dirichlet边值问题,得到了存在两个正解的充分条件,并通过例子说明了条件的可行性.接着通过建立新的Green函数得到了一类四阶微分方程组存在多解的充分条件.随后讨论了有奇点的初值问题的解的存在性,本文假设中所给条件是关于函数的积分存在性条件.本文在没有利用Green函数的前提下,利用对角序列,同时利用逼近方法得到了正解的存在性结果.对于解的存在性结果一般都要利用不动点定理,但本文将利用不动点指数理论对上述问题解的存在性加以讨论,得到了正解存在的充分条件,并且给出了例子.最后利用极大值原理和不动点定理给出了Dirichlet边值问题存在唯一解的一个充分条件.