概率极限理论不仅是概率论的主要分支之一，而且也是概率论其它分支和数理统计的重要理论基础．前苏联著名的概率学家Kolmogorov曾说过：”概率论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论中的基本概念的真正含义.”经典的中心极限定理是概率论的重要基础，它广泛应用于统计、自然科学、工程学和经济学.它的方法和结果将继续对概率论的其它分支，数理统计和它们的应用产生巨大影响.而对几乎处处极限定理和自赋范极限理论的研究则是近几十年来概率极限理论研究中的两个重要方向.本文主要对几乎处处极限定理和自赋范极限理论进行研究. 对独立同分布的随机变量序列{Xn，n≥1)，Brosamler(1988)和Schatte(1988)首先独立地发现了几乎处处中心极限定理(ASCLT)，他们得到：如果{Xn，n≥1)是具有均值为零方差为1的独立同分布随机变量序列，Sn=∑i=1nXi，且E|Xi|2+δ＜∞(δ＞0)，则对所有xlimn→∞1/lonnn∑i=11/iI{si/√i≤x}1/√2π∫x-∞e-u2/2dua.s.成立，其中I是示性函数.自此以后，许多作者研究了几乎处处中心极限定理.Lacey和Philipp(1990)，Schatte(1991)，Cs(o)rg(o)和Horváth(1992)，Berkes和Dehling(1994)，Berkes(1995)等得到了独立同分布随机变量序列的几乎处处极限定理.Berkes和Dehling(1993)，Berkest和Csáki(2001)则考虑了独立不同分布随机变量序列的几乎处处中心极限定理.而Peligrad和Shao(1995)，Lesigne(1999)研究了相依随机变量的几乎处处中心极限定理.几乎处处极限定理的一般形式是：如果{Xn，n≥1)是一随机变量序列，部分和Sn=∑i=1nXi对某些常数序列{an}，{bn}和某一具有非退化分布函数G的随机变量y满足(Sn-an)/bnD→Y,则在一定的条件下，对G的任意连续点x有limn→∞1/lognn∑i=1i/iI{Si-ai/bi≤x}=G(x)a.s.成立.Fahrner和Stadtmfiller(1998),Cheng等(1998)，Fahrner(2000)和Stadtmiiller(2002)证明了独立同分布随机变量的最大值的几乎处处极限定理．Berkes和Csáki(2001)得到独立随机变量的非线性泛函的几乎处处极限定理.由他们的结论立即可得部分和几乎处处极限定理的类似结果：部分最大值、极值顺序统计量、经验分布函数、局部时和不变原理的几乎处处极限定理.