波方程被广泛地用来刻画各种波传播现象。本文将研究其中两类典型的方程,即Schr?dinger方程和Korteweg-de Vries方程。这两种方程出现在量子力学、非线性光学、等离子体、超导体、晶体学等领域中。谱配置法因其指数收敛性,是一种被广泛采用的数值方法。然而,传统的基于多项式基函数的谱配置法产生的系数矩阵是稠密和病态的。本文将基于Birkhoff插值问题,构造新的非多项式函数系,并以此为基函数建立谱配置法。该谱配置法对一类边值问题产生的系数矩阵是良态的,并且精确地满足边界条件。另一方面,在很多情况下物理区域是无界的。当考虑无界区域上波方程的数值解法时,由于计算资源的有限性,需要将计算区域限定为有界区域。因此需要在有界区域上施加合适的人工边界条件。如果施加的边界条件不合适,向外传播的波在边界上会被反射回计算区域,这与无界区域上的波方程解的行为不符。因此必须使这种虚假的反射尽可能的小。如果一种人工边界条件使得在边界处没有虚假反射,则称之为透明边界条件。针对有界区间上的非线性Schr?dinger方程,基于二阶广义Birkhoff插值,构造了一组非多项式基函数。为了讨论该非多项式基函数的插值误差,首先给出了Jacobi-Gauss-Lobatto多项式插值算子在非一致加权Sobolev空间中的稳定性估计和收敛性分析。基于此估计,建立了非多项式基函数的Birkhoff插值在加权Sobolev空间中的误差估计。考虑一维无界区间上的线性Schr?dinger方程,在进行时间离散后,给出了时间半离散的透明边界条件,并证明了在此边界条件下,时间半离散格式的稳定性。最后对时间半离散格式应用基于非多项式基函数的谱配置法进行空间离散,得到全离散格式。全离散格式精确地满足边界条件,并且通过适当地选取基函数中的自由参数,所得到的全离散格式是显式的。最后通过数值实验,验证了格式的高精确性和对反射波的透明性。针对一维无界区间上的线性Korteweg-de Vries方程,进行时间离散后,原无界区间上的问题转化为等价的内问题和外问题。外问题可以由Z变换解析地求解,从而得到内问题的透明边界条件。建立了带有透明边界条件的时间半离散格式的稳定性。对Korteweg-de Vries方程,透明边界条件中的逆Z变换没有显式表达式,给出了一种稳定且精确计算逆Z变换的算法。然后考虑Korteweg-de Vries方程时间半离散格式的空间离散,基于三阶广义Birkhoff插值,构造了另一组非多项式基函数。建立了该基函数在非一致加权Sobolev空间中的插值误差估计。然后以此非多项式函数为基底,构造了Korteweg-de Vries方程的谱配置法全离散格式。该格式保持了边界条件对反射波的透明性。同时,在基函数的构造中包含了两个自由参数,通过适当地选取这两个自由参数,最终的全离散格式是显式的。数值实验也验证了所构造格式的有效性和高精确性。