作为经典整数阶算子的推广,分数阶算子能够比经典导数更为准确地描述粒子在时空下的分布状态,因此,它已成为描述反常扩散问题的最为有效的工具.近些年来,分数阶微积分和分数阶微分方程也被应用到许多新的研究领域,如金融,水文,混动同步,多向多涡卷吸引子等模型问题.分数阶微分方程在数学模型中取得的进展激发了人们对其数值算法的研究兴趣.与经典算子不同的是,由于分数阶算子的非局部性质,求解分数阶偏微分方程的解析解很困难,甚至有时是不可能的;或者所得到的解析解是用超几何函数或者无穷级数来表示的.因此,用高效的数值方法来求解分数阶微分方程是很有必要的.本文由以下五个章节组成.第一章,本文简要回顾了分数阶算子和tempered分数阶算子的发展背景以及数值求解分数阶问题已有的一些研究成果.第二章节中,基于Grünwald离散公式逼近分数阶导数时存在超收敛点(超收敛点不在等分网格上)的事实,我们导出了一系列求解分数阶微分方程的高阶伪紧差分格式,其伪紧性表现为:计算中,所有高阶(二阶,三阶,四阶,甚至更高阶数)的格式都不会用到定义域以外的离散点;此外,这些高阶格式对应的方程组中矩阵均有相同的代数结构.随后,该章节中还给出了一些具体格式的稳定性和收敛性分析.高精度格式一般需要解的正则性也要好,对于具有非局部性质的分数阶算子而言,相应解正则性往往是表现在整个实轴R上的;而本章给出了一种处理技巧可使得本文导出的高阶伪紧差分格式同样适用于解以及其导数在边界点处取值可不为零的问题.多个数值试验的结果表明了本文理论分析的正确性,同时也验证了所导各阶伪紧格式的有效性.本文在第三章节讨论分数阶算子在非一致网格上的算法设计.在过去的几十年里,求解分数阶微分方程的差分方法有着较快的发展,然而就我们所掌握的知识,目前已有的一阶以及高阶有限差分格式,均是需要在一致网格上计算的.高阶格式要想达到高精度的效果,需要解的正则性也要好;如果解受正则性的限制,那么一致网格上高阶格式的设计也就没有太大的意义.而空间分数阶导数的非局部性质又使得有限差分格式的计算在非一致网格上显得格外的困难.本文该章节中给出一个基本策略,描述如何实现在非一致网格上用已有的一阶以及高阶离散格式来逼近分数阶算子;并用导出的非一致网格上的一阶和二阶格式来求解空间分数阶微分方程.随后,该章节也详细给出了格式的误差分析和稳定性分析;并列出多个数值实验结果来验证文中理论分析和收敛结果的正确性.事实上,上述给出的求解分数阶微分方程的有限差分方法均可以推广到求解tempered分数阶问题中去,本质上不会有任何困难.在第四章节中,本文通过引进分数阶积分空间的概念,来讨论在该空间下的tempered分数阶对流/扩散问题的谱方法设计.文中所定义的分数阶积分空间有以下特点:(i)当积分阶数∈(0,1)时,空间中的函数在边界上不需要是齐次的;(ii)在该空间里,tempered分数阶算子与Riemann-Liouville分数阶算子是等价的.这样一来,我们可以选择适当的分数阶积分空间,并在其中导出tempered分数阶对流/扩散问题的变分形式;进而用类似于经典微分问题的谱Galerkin方法以及谱Petrov-Galerkin方法对导出的变分问题进行数值计算.本章还论证了文中谱方法在求解tempered分数阶对流/扩散问题时的误差估计,并在数值上验证了理论分析的正确性.本文在第五章对全文进行总结,并在该章列出了以后工作的方向和展望。