几何特征,如顶点位置、法向量、曲率等等,是用来描述几何对象性质常用的几何量。三维模型的几何特征与稀疏或低秩方法结合,可以有效解决数字几何领域中的很多问题,如模型的方向矫正、模型分类、三维模型的检索、匹配与注册等等。不仅如此,几何特征还能解决三维打印中的复杂问题,比如3D打印中的省材问题、提高3D打印效率问题和改善打印质量问题等等。本文的主要工作如下：(1)针对三维打印省材问题,首先基于稠密框架结构,实现对三维模型的体剖分。在此基础上,通过构建一个多目标的优化模型,其优化约束满足几何逼近性、可打印性、自平衡性等物理结构分析性质,最终实现三维打印省材问题的几何设计。本文通过拓扑优化删除冗余,利用几何优化计算框架支柱的半径和框架节点的位置。另外,本文还利用此优化框架结构,实现了外支撑结构的优化设计,使外支撑也达到省材的目的。总之,本文所提出的方法,不仅使得所打印的模型具有足够的强度和摆放的稳定性,而且能够大大地减少打印材料和支撑材料,有效解决了三维打印省材问题。(2)针对提高三维打印效率的问题,本文基于网格的显著性,提出了一个网格自适应切片方法。首先,计算网格模型的显著性值分布；其次,根据模型的显著性值,确定切片厚度的优化模型；最后,通过实现网格的自适应切片算法,即显著性值大的区域采用高精度切片,显著性值小的区域用低精度切片,完成三维物体的高效打印。与最高精度的模型相比,本算法能够在保持显著性区域打印高质量的前提下,大量减少打印时间,从而实现提高打印效率的目的。另外,本文还提出了一个网格分割算法,通过修改打印机的机器代码,能够实现多个曲面片的一体打印,为复杂物体的快速打印提供了可行的方法和工具。(3)针对提高打印质量的问题,本文基于打印方向,提出了一个三维模型分解方法,该方法可高效实现高质量打印的部件分解。首先基于打印方向,将三维模型分割成多个曲面片,满足曲面片打印具有很小误差后,在相邻曲面片之间的边界上构造切割平面；其次,利用切割平面优化曲面片的Voronoi种子点,并基于三维约束的Voronoi Diagram,生成曲面片所对应的Voronoi细胞；最后,通过Voronoi细胞与三维模型进行体求交生成可打印的部件。另外,还给出了相邻部件之间卡扣设计、部件组装顺序和组装方向的优化算法。与现有的方法相比,本文算法不仅能够提高打印质量,缩短打印时间,而且适用于大物体打印。(4)针对三维模型匹配与检索的问题,本文基于子空间聚类的思想,提出了一个稀疏优化算法。首先,对输入的三维模型进行归一化处理后,分别对每个三维模型计算几何特征量；其次,利用提出的优化模型,获取不同模型几何特征之间的表达系数；最后,利用这些表达系数构造模型之间的相似性矩阵,结合谱聚类方法最终实现三维模型的分类。本文算法已经在大量的三维模型上进行了测试,实验结果表明,本文算法具有非常高的检索准确率。(5)针对三维网格曲面的定向问题,提出了一个三阶张量矩阵秩最小化的算法。由于三阶张量矩阵能够捕获原始模型的全局对称信息,因此本文算法能够获取模型全局的最优定向。首先,利用三维网格的顶点和模型的包围盒,构造一个三维张量矩阵；在此基础上,通过秩最小化优化模型,获取模型的最佳变换矩阵,使三维模型具有最佳定向。本文算法已经在多个三维模型数据库上进行了测试,实验结果证明了该算法的有效性和实用性。另外,本文算法还能够很好地适用于点云、非流形曲面、带空洞模型等。