以无单元伽辽金法为代表,近二十余年发展起来的无网格法,有着近似(插值)函数的形成不依赖于网格信息(节点之间的拓扑连接)、易于形成高阶光滑近似等优点,己经在大变形分析、自适应计算以及动态破坏模拟等方面得到广泛应用。然而,由于无网格形函数多为非多项式的有理函数,导致精确计算Galerkin弱形式的区域积分相对困难。如果采用常见的基于背景网格的高斯积分方法,往往需要在每个积分网格内布置大量的区域积分点,才能保证计算结果的稳定性。这无疑降低了无网格法的计算效率,制约其在实际工程分析中的应用。本文工作可以分为一般弹性体和薄板壳两个方面。一方面,针对一般弹性体问题无网格分析的数值积分困难,本文通过采用修正节点形函数导数的方法,基于胡-鹫广义变分原理理性推导了适用于高阶无网格法的导数修正方程,并引入泰勒展开技术,分别为二维和三维无网格法发展了满足高阶一致性的节点积分方案。所发展方法能够精确再现线性应变场,与现有的高斯积分方法和仅能再现常数应变场的稳定相容节点积分方法相比具有更好的计算精度、效率以及稳定性。与三线性有限元(八节点六面体单元)相比,所提出的高阶一致性节点积分方法也同样具有更好的计算精度和收敛性,甚至展现出优于八节点六面体单元的计算效率。另一方面,薄板壳作为一类重要的工程构件,被广泛应用在航空航天、土木建筑、船舶、海洋、机械以及化工等行业。由于其相关力学问题极具实际工程意义,板壳结构在不同载荷作用下的力学行为一直是计算力学的研究热点之一。从数学上来讲,薄板壳的控制方程为高阶偏微分方程(组),当对其采用数值求解时,要求场变量的近似函数至少具有C1连续性。然而,目前广泛应用于工程数值分析领域的有限单元法,其基于拉格朗日插值的形函数仅具有C0连续性,不能直接方便地应用于薄板壳分析。与此不同的是,以无单元伽辽金法为代表的无网格法易于形成任意阶光滑近似,因而在薄板壳问题的数值分析上具有天然优势。但是,与前述一般弹性体问题一样,薄板壳的无网格分析同样缺乏准确高效的数值积分方法,这也是本文致力于研究的主要问题之一。对于薄板弯曲问题,由于其控制方程为四阶偏微分方程,刚度阵涉及到节点形函数二阶导数的乘积,因而数值积分比一般弹性体问题更为困难。针对该问题,本文同样基于胡-鹫三变量混合变分原理,理性推导了适用于任意阶近似的导数修正方程,该方程表达了节点形函数、标准导数和修正的二阶导数之间应满足的关系。基于此,本文进一步建立了相应的积分格式。以三阶无网格近似为例,本文建立的基于背景三角形积分网格的三点积分格式可精确反映纯弯曲和线性弯曲模式(因而称之为线性曲率光顺方案)。与标准的高斯积分方法相比,所建立方法显著提高了计算精度和效率。本文还将该方法应用于薄板的自由振动分析,与现有的高斯积分和常曲率积分方法相比,得到了更为精确的自振频率。此外,本文对于薄板弯曲问题也发展了能够精确反映线性弯曲模式的节点积分方案。对于薄壳问题,由于同时存在薄膜应力和弯曲应力,其数值求解比薄板问题更为困难。本文基于几何精确壳模型,将壳中面投影为参数意义下的平面,然后在参数平面下,建立了分别适用于薄膜应变和弯曲应变的导数修正方程。前者表征了节点一阶修正导数和节点标准形函数之间的关系,后者表征了节点修正的二阶导数和节点标准形函数及其导数之间应满足的关系。基于所发展的导数修正方程,本文为三阶无网格近似发展了可精确反映线性应变状态的积分格式,与标准的高斯积分方法相比,显著提高了计算精度和效率,且能够得到更为准确的薄膜应力和弯曲应力场,实现了薄壳问题的高效无网格分析。板壳断裂是工程中最为常见的结构失效模式之一,板壳断裂问题也一直是断裂力学关注的重点。然而由于C1单元难以构造,目前对薄板壳结构裂纹扩展数值模拟方法方面的研究还远未成熟。众所周知,裂纹扩展模拟的一个重要部分是强间断(裂纹)的数值表征。本文采用虚拟节点描述裂纹处的强间断,并通过修正节点形函数导数提高计算效率和精度,实现了对薄板壳裂纹扩展过程的数值模拟。