本文主要对几类具高初始能量的非线性发展方程弱解的爆破性质展开研究.通过探索新的方法给出发展方程的弱解在有限时刻爆破的新的准则.进一步,我们阐明该准则蕴含了这几类发展方程在任意高初始能量下总存在有限时刻爆破解.本文共分为五章:第一章为绪论.首先,介绍不同初始能量下发展方程解的爆破性质研究现状.进一步,阐述了本文主要研究的问题、克服的困难、使用的方法和得到的结果.最后,给出一些必要的预备知识.第二章,我们研究一类具有一般扩散系数和一般非线性源项的抛物型Kirchhoff方程的初边值问题其中Ω是Rn（n≥1）中具光滑边界的有界区域,T ∈（0,+∞]是解u（x,t）的最大存在时间并且u0∈H01（Ω）.扩散系数M（t）,非线性项f（s）和时间依赖函数k（t）满足如下假设:（H1）M ∈ C[0,∞）并且对任意t ≥ 0有M（t）≥m0＞0,其中m0为正常数.此外,存在常数σ ∈（0,1）使得其中M（t）=∫0tM（s）ds;（H2）sf（s）≥0,（?）s ∈ R;（H3）f∈ C1（R）并且存在常数α＞2/σ-1使得s[sf’（s）-αf（s）]≥0,（?） s ∈ R;（H4）存在正整数l及常数ai＞0（1 ≤ i ≤l）使得其中 1＜p1＜…＜pl＜2*-1,2*是 2 的 Sobolev 指数,即当 n ≤ 2 时,2*=+∞;当n＞2 时,2*=2n/n-2;（H5）k∈ C1[0,∞),k（0）＞0 并且对任意 t∈[0,∞)有k’（t）≥0.这一章的主要内容有两点.第一,研究不同初始能量下问题（1）弱解的爆破性质.事实上,通过对比[41,57,66,100]中的结果我们发现,Kirchhoff方程中的扩散系数和源项的性态与形式常常影响着解的行为.那么,我们自然地想到一个问题,一般的扩散系数和带有权函数的非线性源项之间是否存在某种制约关系影响解的爆破性质.另外,超临界初始能量下,经典的位势井方法失效,变分方法因无法给出爆破时间估计而具有一定的限制性,这为我们探索具高初始能量的问题（1）解的性质带来了挑战.为克服上述困难,我们引入依赖于时间的泛函J（u;t）（能量泛函）和I（u;t）（Nehari泛函）,并建立J（u;t）,I（u;t）和‖u‖L2（Ω）之间的关键关系.在此基础上,结合一阶微分不等式方法,我们证明了当初始能量为负时,问题（1）的解在有限时间内爆破;当初始能量非负时,借助Levine凹性理论,给出了新的有限时刻爆破准则.与此同时,我们得到了上述两种情形下的爆破时间上界估计.借助I（u;t）的负性和一些不等式技巧,我们又得到了爆破时间的下界估计.至此,我们揭示了一般的扩散系数和一般的非线性源项对问题（1）解的爆破性质的联合影响（见假设（H1）与（H3））.进一步,以一类具特殊扩散系数和幂型非线性项的Kirchhoff方程为例,运用喷泉定理,我们论证了新的爆破准则蕴含了,在任意高初始能量下,问题（1）总存在有限时刻爆破解第二,我们考虑M（s）=a+bs且f（s）=|s|q-1s情形下的问题（1）,其中1＜q≤3且q＜2*-1.运用改进的位势井方法证明了,当1＜q＜min{3,2*-1}或者当q=3＜2*-1且b＞0适当大时,弱解均全局存在.而当q=3＜2*-1且b＞0适当小时,该问题既有全局解又有爆破解.这些结合前人的结果（当3＜q＜2*-1时,在适当的初值条件下,问题（1）存在全局解和有限时刻爆破解）[40],说明了 q=3是问题（1）的临界爆破指数.第三章,讨论一类具强阻尼项和一般非线性源项的半线性波动方程的初边值问题其中Ω是Rn（n≥1）中具光滑边界的有界区域,u0∈H0（Ω）,u1∈L2（Ω）.非线性源f∈C1（R）需满足如下假设:（P1）存在常数p＞2使得sf（s）≥pF（s）,（?）s ∈ R,其中F（s）=∫0sf（t）dt;（P2）存在正常数h1,h2及q ∈（1,2*-1）使得|f’（s）|≤ h1+h2|s|q-1,（?）s ∈ R.由假设条件（P2）和Newton-Leibniz公式易见（P3）存在正常数α,β满足|f（s）|≤α+β|s|q,（?）s∈R.对具幂型非线性源或对数型源的发展方程的研究因具有一定物理背景受到关注,这两种源对具阻尼项的半线性波动方程初边值问题解的爆破性质是否有相似的影响是一个值得思考的问题,因此,本章研究带有包含这两种源的一般非线性源的问题（2）.对于超临界初始能量下的双曲问题（2）,仍然无法通过位势井方法确立Nehari流形相关无界集的不变性,这也是研究高初始能量下解的爆破性质的困难所在.我们首先利用Banach压缩映射原理,确立了问题（2）弱解的局部存在性与唯一性.其次,通过构造递增性与Nehari泛函值相关的辅助函数,我们证明了不稳定集N在问题（2）半流下是不变的.借助这一点和Levine凹性理论,我们给出了解的有限时刻爆破的准则,即当初始能量以某常数倍的(‖u0‖~2+2（u0,u1）为上界时,问题（2）的解在有限时刻爆破.特别地,上述爆破准则意味着,至少对幂型非线性项而言,在任意正初始能量下,存在着适当的初值u0,u1,以其作为初值的问题（2）的解一定在有限时间内爆破.同时,我们得到了爆破时间的上界估计.最后,通过充分利用（强）阻尼项并在H（?）lder不等式中选取适当参数,我们也给出了爆破时间的下界估计.第四章,考虑一类具有强耗散项和一般非线性源项的双曲型Kirchhoff方程的初始初边值问题其中Ω是Rn（n≥1）中具光滑边界的有界区域,u0∈H0（Ω）且u1∈L2（Ω）.非局部系数M（s）=a+bs,其中a和b是两个正参数.假设非线性项f∈ C1（R）满足如下条件:（61）存在常数p＞4使得sf（s）≥ pF（s）,（?） s ∈ R,其中F（s）=∫0sf（t）dt;（β2）存在正常数k0,k1和r ∈（1,2*-1）满足|f’（s）|≤ k0+k1|s|r-1,（?）s ∈ R.根据假设条件（β2）和Newton-Leibniz公式可知（β3）存在正常数i,j使得|f（s）|≤i+j|s|r,（?） s∈R.问题（3）的显著特点是非局部系数M依赖于‖▽u‖22.因非局部系数的出现,我们无法由un（?）u在空间H01（Ω）中的弱收敛推出M（‖▽un‖22）→M（‖▽u‖22）,这为问题（3）弱解存在性的确立带来了一定的困难.利用Galerkin方法,我们得到了逼近解在适当空间中的弱收敛性.接着我们又运用更精细的估计,证明了逼近解在空间C0([0,T];H0（Ω）中强收敛.从而,确立了问题（3）解的局部存在性与唯一性.其次,我们构造了一定条件下严格递增的新的辅助泛函,结合Nehari泛函关于时间的连续性,得到了不稳定集N（4.8）在问题（3）半流下具有不变性质.凭借N的不变性和凹性理论,给出了问题（3）新的爆破准则.同时,作为凹性理论的附加产物,我们推导出爆破时间的上界估计.第五章,研究一类具强阻尼和对数型非线性源项的双曲型p-Laplacian方程的初边值问题其中Ω是Rn（n≥1）中具光滑边界的有界区域,△pu=div（|▽u|p-2▽u）,p＞2且p满足初值u0∈W01,p（Ω）,u1∈L2（Ω）.本章我们将讨论不同初始能量下问题（4）解的爆破性质.在次临界初始能量下,借助位势井方法和能量不等式,我们证明了不稳定集U在（4）半流下是不变的,以此给出了‖u‖pp的正下界,进一步,利用Levine凹性理论,证明了问题（4）的解在有限时间内爆破.在超临界初始能量下,位势井方法和不稳定集的不变性不再有效.为此,我们引入了另一个集合N通过构造一个适当的辅助函数,证明了该集合在（4）半流下是不变的.根据这一点和Gagliardo-Nirenberg插值不等式,我们得到了一个至关重要的反向Sobolev不等式,即某常数倍的‖▽u‖22可被‖u‖pp控制.基于反向Sobolev不等式,我们推导出凹不等式,这说明了问题（4）存在有限时刻爆破解.同时,我们也给出了两种情形下爆破时间的上界估计.进一步,我们证明了超临界初始能量下的有限时刻爆破蕴含了,任意正初始能级下问题（4）都存在有限时刻爆破解,且这取决于初值的选取.最后,给出了爆破发生时,爆破时间的下界估计.