线性方程组的求解问题一直是国内外研究的重要领域.现代许多科学计算与工程应用问题往往需要求解大型稀疏线性方程组,实际应用问题的复杂性往往导致最终所得到的线性方程组不仅会出现维数比较高的情况,而且得到的系数矩阵的形式和性质也会各不相同.本文主要研究网页排序的PageRank问题和用随机Kaczmarz方法求解大型稀疏线性方程组的数值算法问题,并将改进的随机Kaczmarz重构算法应用到压缩感知信号重构的计算问题中.所做工作的内容具体概括如下:1.在网络排序PageRank问题中,当阻尼因子α接近于1时,现存的数值算法的收敛速度往往会变慢.针对这种情况,作者做了两方面的研究工作.第一方面,作者利用深度重启的Arnldi过程和多步分裂迭代方法,给出了一种预处理的多步分裂迭代算法,并对其收敛性给出了分析和证明,同时给出了相关的数值算例.第二方面,在利用Arnoldi过程计算PageRank问题时,作者发现当阻尼因子α充分接近于1时,收敛的残差曲线会出现不规则的跳动甚至不收敛的情况,通过分析原因,作者提出了 GMRES-Power方法.给出的数值实验验证了理论分析的结果,并表明该算法的数值有效性.2.2009年提出的随机Kaczmarz算法和2018年提出的贪婪随机Kaczmarz算法是求解大型系数线性方程组的两个有效方法.基于这两个算法,作者给出了两种改进算法.第一个改进算法:基于贪婪随机Kaczmarz方法,通过充分地利用贪婪随机Kaczmarz算法在每次迭代所计算出的残差信息,作者提出了一种多步贪婪随机Kaczmarz方法,并证明了算法的收敛性.给出的数值算例验证了该算法的有效性.第二个改进算法:依据松弛随机Kaczmarz算法,作者给出了一种多步自适应的松弛随机Kaczmarz方法,并证明了算法的收敛性,给出的相关数值算例验证了该算法的有效性.3.随机稀疏Kaczmarz算法是求解压缩感知中信号重构问题的一种有效算法.作者利用多步自适应松弛随机Kaczmarz方法提出了一种自适应贪婪随机稀疏Kaczmarz算法,并将其应用到信号重构问题的数值计算中.给出的具体图像数值实验表明,作者提出的新算法要比随机稀疏Kaczmarz算法不仅在收敛速度上快许多,而且运算的CPU时间也要少很多.