量子自旋系统在凝聚态物理学中占据重要的地位,为研究量子多体物理提供了很好的平台。本论文研究若干量子自旋系统的基态和低能激发,讨论了量子自旋系统中的阻挫磁性、投影构造、严格解、张量网络态、隐含的对称性等等问题。本文的第一部分研究了三维hyperkagome晶格上的J1-J2-J3反铁磁海森堡模型的阻挫磁性。在经典极限下,我们提出了“hyperkagome三角形规则”和“孤立三角形规则”,并应用这两个规则得到了某些参数极限下的严格经典基态;我们还通过经典蒙特卡罗模拟发现所有可能的经典基态,并得到整个经典相图。在量子区域,我们用Schwinger玻色子理论研究可能存在的量子自旋液体态和长程磁有序态:通过投影对称群的分析,发现在J1-J2-J3海森堡模型中只存在两类量子有序态满足hyperkagome晶格的P4132对称性。描述这两类量子序的平均场分别称为:零通量拟设和π通量拟设。它们可以用hyperkagome晶格上的10格点闭环的规范不变通量加以区分。在不同条件下,这两类量子有序态都能得到量子自旋液态和长程磁有序态。我们得到了自洽的平均场相图,并讨论了如何用自旋谱函数S（q,ω）的特征来区分这些量子有序态。本文的第二部分研究了二维砖墙晶格上的严格可解的S=1/2自旋模型。该模型的每个晶胞由三个S=1/2自旋组成,是一个原生的莫特绝缘体。该模型的基态是代数量子自旋液体,基态之上是具有能隙节点的自旋子激发,激发的色散关系在（0,0）和（0,π）处是线性的。定义在环面上的模型的基态具有三重拓扑简并。通过外加磁场破坏时间反演对称性可以打开一个体能隙,此时Z2涡旋具有非阿贝尔统计性质。在本文的第三部分,我们提出了一种数值计算量子多体波函数的新方法。最近吴英海等人[arXiv:1910.11011]提出了所谓的MPO-MPS方法。该方法可以有效地用张量网络态表示若干类量子多体波函数,特别是Gutzwiller投影费米海态。我们推广MPO-MPS方法,使其可以用于计算Gutzwiller投影的配对费米子态。我们采用了 Bogoliubov准空穴的最大局域化Wannier轨道来优化MPO-MPS方法的计算性能。我们对SO（3）对称的S=1自旋链进行仔细的研究,揭示了该新方法在计算有能隙的态时具有比变分蒙特卡罗更优越的性能;而在计算无能隙态时,其性能和变分蒙特卡罗相当。此外,我们结合MPO-MPS方法和其他基于MPS的精确方法（如切比雪夫MPS方法）来计算自旋谱函数。在本文的第四部分,我们揭示了隐含在S=1量子自旋系统中的SU（2）对称性。这些SU（2）对称性由SU（3）群的SU（2）子群表述。我们构造了SU（2）对称的自旋模型,并给出了模型的半经典基态以及对应的相图。我们发现:由于SU（3）（?）SU（2）× U（1）的对称性分层,如果系统的元激发是flavor wave,则自旋谱函数和自旋四极子谱函数的色散结构是一致的。该现象可以作为探索S=1自旋系统中的八重法的线索。研究还发现:在该模型的AFQ3相中可能存在有效的S=1/2量子自旋液体态,该自旋液体共存于一个有能隙的自旋向列序。通过与量子色动力学的类比,我们发现量子自旋-轨道液态中的流体力学模式的能隙关系满足著名的Gell-Mann-Okubo公式。