微分求积法从提出至今，由于其具有计算量小和精度高等优点而不断受到重视，目前对该数值方法本身的研究尽管已经相当成熟，但还有节点较多时，矩阵会出现病态以及数值不稳定等局限性。针对传统微分求积法的局限性，本文提出一种基于重心插值的局部微分求积法。该方法中，选择重心插值函数作为基函数，保证方法具有良好的数值稳定性，此外，局部微分求积法能够克服微分求积法中节点过多出现的弊病。因而，本文方法除了具有传统微分求积法的计算量少、精度高等优点外，还具有数值稳定性好、节点可以取到很多的优点。具体工作如下:　　1、构造了重心插值基函数，结合局部微分求积法，形成了求解一维边值问题的基于重心插值的局部微分求积法。该方法允许取更多的节点而不影响数值稳定性，能够很好的处理奇异性问题，可消除在边界附近解产生震荡现象。以一维对流占优方程边值问题为例，验证了该方法的有效性。并将该方法与有限差分法结合，形成了求解一维热传导方程初边值问题的数值方法，数值算例验证了该方法的优越性。　　2、将基于重心插值的局部微分求积法推广到二维，形成了求解二维边值问题的基于重心插值的局部微分求积法。结合有限差分法，将该方法成功的应用到二维抛物型偏微分方程初边值问题的数值求解。对非线性反应扩散方程初边值问题和Burgers方程组初边值问题进行了数值模拟，结果表明了本文方法的有效性以及在处理非线性项和边界条件等方面的优势。