本文应用固体力学、流体力学、数学等方面的知识,在借鉴前人的研究成果的基础上,建立了钻柱空转功率、钻进碎岩功率消耗和钻柱屈曲的数学模型。　通过对深直井旋转钻柱空转功率消耗因素的分析,考虑空转时离心力作用在井壁上引起的摩擦力导致的功率消耗,并将钻井液视为牛顿液体,运用柱坐标系建立了旋转钻柱在深井作业条件下空转功率消耗的分析模型。综合考虑空转功率与钻柱旋转的角速度、钻柱与井眼结构参数、钻井液粘度系数等因素间的关系,即旋转钻柱运动过程中的离心力和钻井液作用在钻柱上的剪切应力对功率的影响,建立了更加符合实际工况的数学模型。　在钻井过程中,当井筒中钻柱所受到的载荷超过一定值时,钻柱会由最初的直线状态变为曲线状态,这就是钻柱的失稳。外部受井眼约束钻柱的最基本失稳构型包括正弦屈曲和螺旋屈曲。钻柱在井中工作时,以一定的转速作回转钻进运动。当轴向力较小时,钻柱弯曲呈正弦形状。当轴向力增加时,钻柱弯曲变为螺旋形状。本文通过考虑离心力和重力对钻柱屈曲的影响,运用能量法研究了钻柱转速与正弦屈曲、螺旋屈曲时临界轴向力间的关系,进而得到了转速——轴向临界力的数学模型。根据能量法原理,本文通过考虑钻柱的弯曲变形能等于重力做的功和离心力做的功之和,推导了转速——轴向临界力间的数学关系表达式。该模型综合考虑钻柱惯性离心力和自重的影响,分析表明,在工作状态下,钻柱的临界压力会明显地小于静态时的临界力,对实际的钻探工程来说具有十分重要的指导意义。　国内外现在使用的确定消耗在钻头破碎岩石功率的关系式主要是通过实验研究得到的经验公式。其模型不能完全反映确定功率的参数间的定量关系。公式中包含的数值,与很多难以考虑的因素有关。因此根据计其模型得到的孔底消耗功率值,只能看成是近似值。本文通过考虑深直井中牙轮钻头、岩石的各向异性及牙轮钻头上静的钻压、动的冲击载荷破碎岩石的功率,综合考虑钻头与岩石碎屑间的摩擦力消耗的功率影响,建立了更适用的深直井钻探碎岩功率的模型理论。从此模型中可知:选择合理的钻压、转速及牙轮结构能有效提高碎岩功率。