【摘 要】
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有限域[2]又称作Galois域,对每一个素数p和任意正整数n,存在个唯一的含有pn个元素的有限域,即Xpn-X在F=Z/（p）上的分裂域. 对于一般的有限域上的线性方程的解有很好的的结果[9].Gauss[3]深入研究了模素数p的二次同余方程和一些特殊类型的三次四次同余方程.Artin[1]对于方程y2-∫（x）mod p给出了一个猜想,Hasse[6]证明了这个猜想.Weil[12]后来
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有限域[2]又称作Galois域,对每一个素数p和任意正整数n,存在个唯一的含有pn个元素的有限域,即Xpn-X在F=Z/（p）上的分裂域. 对于一般的有限域上的线性方程的解有很好的的结果[9].Gauss[3]深入研究了模素数p的二次同余方程和一些特殊类型的三次四次同余方程.Artin[1]对于方程y2-∫（x）mod p给出了一个猜想,Hasse[6]证明了这个猜想.Weil[12]后来证明了一个更一般的结论. 本文中,我们研究一种特殊形式的线性方程,这里方程的变量属于有限域的一个子集合而非整个有限域.设p＞2为一素数,S≤Fp,|S|=k,l≤k≤p.记其中xi∈S.我们.我们主要有以下结果： （1）对于一类特殊的集合S=｛0.1,…,k-1｝,我们给出了F（x1,…,xp-1）=b.b∈Fp的具体的解的个数,特别地,我们据此得到了一个Fermat小定理的具体的解释.对于一般的集合S,我们考虑了当k固定时,F（x1,…,xp-1）=b.b∈Fp的解的个数的分布. （2）我们用f（x2,…,xp-2）=b.b∈Fp的解的个数构造了一个矩阵并研究了这个矩阵的一些性质,特别是这个矩阵的特征值和方程的解的个数之间的关系. （3）应用Lev定理[7]给[7]了F（x1,….xp--1）=b,b∈Fp.f（x2,…,xp-2）=b.b∈Fp的解的个数的一个上界. 本文内容安排如下：第一章简要介绍了有限域的背景知识和有限域上的方程的一些结果.第二章我们给出了关于方程F的解的结果.第三章考察了方程f的解的性质.第四章我们介绍了Lev定理及推论.
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