分形是非线性科学中富有挑战性和广阔应用前景的学科.分形理论中Mandelbrot集和Julia集都是非常复杂的对象.本文主要研究了广义Mandelbrot集和Julia集的分形特征,内容如下:提出了用于探讨广义M-J集对应关系的周期轨道搜索比较技术,结合Lyapunov指数和周期点查找技术,本文分析了广义M-J集的分形特征.利用上述技术,本文构造了一系列复映射z → z<α>+c(α∈R)的广义M-J集,研究了广义M-J集的结构拓扑不变性和裂变演化规律;建立了复映射z→z<α>+c(α∈R)的广义M-J集之间内在机制的等价定理、拓扑不变性和裂变演化规律;探索了广义M-J集的分叉嵌套序列、吸引周期花瓣的分布规律、轨道的混沌特征;把计算机试验与数值计算相结合,从广义M集对应的不同周期的广义J集周期轨道入手,对广义J集周期轨道的特征进行分析,建立定性、定量化的标准与统计特性的指数,来描述、刻画广义M-J集对应关系;并且在此基础上阐述了此类广义M-J集的物理意义.这一研究成果即将发表在《自然科学进展》上.研究了广义高斯和的分形序列及其M-J集.本文从理论上分析了分形序列的生成规则,给出了二次高斯和所生成的分形序列的标度及维数;利用逃逸时间算法,构造了广义高斯和的M-J集,分析了M-J集的周期性和结构特征,并给出了相应的理论证明.把噪声对动力系统的影响引入到广义M-J集的研究中,分析了加项扰动的广义M-J集分形特性,探讨了加项扰动的广义M-J集的结构变化及周期性规律;并在加项扰动的广义M集上取点构造了对应加项扰动的广义J集,探讨了扰动广义M-J集的对应关系;从理论上研究了扰动参数对广义M集的影响.