【摘 要】
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设G是连通图,顶点集为V(G),边集为E(G),S是G的一个顶点子集.若S’外的任意一对不相邻的点都可由一条内点都在S中的路相连,则我们称S是G的一个中心集.进一步地,若S导出的子图
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设G是连通图,顶点集为V(G),边集为E(G),S是G的一个顶点子集.若S’外的任意一对不相邻的点都可由一条内点都在S中的路相连,则我们称S是G的一个中心集.进一步地,若S导出的子图是连通的,就称其为连通中心集.最小中心集的阶称为中心数,记为h(G);最小连通中心集的阶称为连通中心数,记为hc(G).若S外的任一点都与S中的某个点相邻,且S导出的子图是连通的,则我们称S是G的一个连通控制集.类似地,定义连通控制数γ_c(G).图G的直径用d(G)表示.本文完成了不等式h(C)≥d(G) - 1取等号时对应极值图的刻画.其次,根据参量h_c(G)与γ_c(G)之间的联系:hc(G) ≤ γ_c(G)≤h_c(G) + 1,我们将图分为两类,并按这种分类方式分别给出图G关于h_c(G)的平均距离的上界以及相应极值图的刻画.作为推论,我们对一般的给定顶点数的连通图G分别给出了其关于h_c(G)与γ_c(G)的平均距离的上界.进一步地,本文又将图G限制为2-连通图,并得到结论:2-连通的边极小图的最小连通控制集导出的子图一定是树.特殊地,当限制γ_c(G) = 2时,我们给出了 2-连通图G的平均距离的上界,并刻画了相应极值图.
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