【摘 要】
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设Z+和Z分别表示全体正整数和全体整数构成的集合。设p为素数,n,k,r∈Z+,h∈Z。1953年,Erdos和Moser猜想丢番图方程1n+2n+…+kn=（k+1）n有唯一的正整数解（n,k）=（1,2）。并且,Moser还证明了当n为奇数时,该丢番图方程无平凡解。在本文中,作者证明了若同余式1n+2n+…+kn≡（k+1）n（modk3）成立,那么对任意的素数p|k,（6,k）=1,p|n（
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设Z+和Z分别表示全体正整数和全体整数构成的集合。设p为素数,n,k,r∈Z+,h∈Z。1953年,Erdos和Moser猜想丢番图方程1n+2n+…+kn=（k+1）n有唯一的正整数解（n,k）=（1,2）。并且,Moser还证明了当n为奇数时,该丢番图方程无平凡解。在本文中,作者证明了若同余式1n+2n+…+kn≡（k+1）n（modk3）成立,那么对任意的素数p|k,（6,k）=1,p|n（n-1）,同余式#12也成立。利用Bernoulli数和Bernoulli多项式的一些性质,作者还给出了同余式1n+2n+-…+kn≡（k+1）n（modk4）成立的必要条件。xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n是一个古老且至今还没有完全解决的不定方程。1900年,E.B.Escott证明了:在2≤n≤5时,除以下情况（x,h,n）=3,1,2;（x,h,n）=3,2,3外,该不定方程无其他正整数解。本文利用初等方法,主要是利用同余理论和分类讨论的思想,给出了同余方程x2n+（x+1）2n +…（x+h）2n≡（x+h+1）2n（mod pr）在φ（pr）|2n时有解的充分必要条件,并且在有解的情况下,给出了方程的全部解。
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