几类热方程在不同空间上的研究

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本文研究了在不同空间上几类抛物方程解的存在性和爆破性。这里我们主要考虑三类空间:第一类是一般的度量空间,其中我们最感兴趣的是分形空间,这类内容放在第2章研究;第二类是经典的欧氏空间,放在第3章进行研究;第三类是黎曼流形,这里研究的Lichnerowicz方程,放在第4章进行研究。在第一部分,我们利用热核方法建立解的非存在性;通过在文章[31]中引入上正则测度建立命题2.2,2.3,再结合压缩映射原理,我们证明解在适当条件下的全局存在性;最后,我们得到Ho¨lder连续正则性结果。在第二部分,我们研究抛物系统(3-1)在欧氏空间中的存在性和爆破性,同时得到抛物系统的临界指标。最后,给出了本文尚未解决的一些开问题。在第三部分,我们研究某类Lichnerowicz型方程在紧致黎曼流形上的存在性,并且给出一些有意义的特殊例子。在本文中,我们主要用到了以下五种方法:第一种是热核技巧。我们采用Weissler[70,71]中所用的热核技巧,在第2,3章中,该技巧主要得到解的存在性和解的正则性。第二种是压缩映射原理。在第2,3章中,主要用来得到解的局部存在性或者全局存在性。我们需要选择特殊的巴拿赫空间,为此,需要建立一些特殊的估计,特别是在定理3.1的证明中,我们需要处理不同的情形I-IV,选择不同的合适的空间应用不动点原理。第三种是检验函数的方法。我们在第2章引入了检验函数(3-15),这些检验函数能够有效地处理非负函数a(x),b(x)有零点的情形。但不幸的是,检验函数只限于在通常性质好的的流形上,而在更加一般的度量空间上不存在。第四种是单调收敛定理。我们在第2章用来得到局部存在性,以及第4章用单调收敛定理得到解的全局存在性。第五种是上下解方法。受Sattinger[61]的启发,我们建立紧致黎曼流形上的上下解方法。该方法在第4章中用来得到解的存在性。
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