【摘 要】
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分数阶微分方程作为分数阶微积分理论中的一门分支,与其它各种类型的方程相比,在构建数学模型这一方面更具有优势.该类型的方程通常是在空气动力学、流体流动、复杂介质电动力学、控制理论、信号和图像处理模型等的研究中推导出来的,并能够用来描述各种实际问题.因此,分数阶微分方程在各个领域都得到了一定的应用且受到了学者们的广泛关注和研究.本文一方面主要研究了一类非线性分数阶微分方程的边值问题,在区间[0,1]上
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分数阶微分方程作为分数阶微积分理论中的一门分支,与其它各种类型的方程相比,在构建数学模型这一方面更具有优势.该类型的方程通常是在空气动力学、流体流动、复杂介质电动力学、控制理论、信号和图像处理模型等的研究中推导出来的,并能够用来描述各种实际问题.因此,分数阶微分方程在各个领域都得到了一定的应用且受到了学者们的广泛关注和研究.本文一方面主要研究了一类非线性分数阶微分方程的边值问题,在区间[0,1]上利用不动点定理讨论了该微分方程解的存在唯一性,并验证了在边值条件y（0）+y（1）=y0下微分方程的Hyers-Ulam稳定性.一般来说,仅含有初值条件的分数阶微分方程的稳定性是容易证明的,但是当方程的定解条件由初值变为边值时,稳定性的研究就变复杂了,这是由于边值问题解的表达式与变量在边值点处的取值有关.本文探究的边值问题解的表达式中含有两种不同的积分算子,无法利用现有的Gronwall不等式给出解的Hyers-Ulam稳定性的证明.因此,我们构造并证明了一类新的积分型Gronwall不等式,该不等式中既含有0到t的积分项,又含有0到T的积分项.该类不等式可以看作是经典的Gronwall不等式的一种推广形式并且可以用来验证一类带有边值条件的分数阶微分方程解的稳定性,具有广泛的应用性.此外,文章还研究了一类Caputo型分数阶微分方程的时滞问题,基于Banach压缩映射原理以及非线性的Leray-Schauder不动点定理,我们探究了方程解的存在性.由于该分数阶微分方程带有时滞条件这一特点,在讨论解的性质时需要给出解的正确形式,这是求解该类问题的重点和难点之一.利用公理化方法定义的相空间,可以将方程的解拆分为(-∞,0]以及[0,b]两部分,并作出适当的延拓,使得构造所得的解的表达式在点t=0处依然是连续的.此外,我们还研究了一类具有无穷时滞条件的分数阶微分方程解的Hyers-Ulam稳定性,不同于连续空间中分数阶微分方程稳定性的证明方式,该类方程在相空间中稳定性的证明需要利用到上确界的相关性质,因此,除了利用Gronwall不等式之外,我们还证明了分数阶积分的一个比较性质来验证这一类时滞问题解的Hyers-Ulam稳定性.
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