第一章中，Kuzmak-Luke的多尺度法应用于研究质量慢变的矿井提升系统的强非线性振动。首先应用该方法得到有一般非线性弹性力的强非线性振动系统解的周期性条件及用Jacobi椭圆函数表示的平方非线性振动和立方非线性振动的首阶渐近解。其次，将得到的结果分别应用于有平方、立方非线性弹性力的质量慢变的矿井提升系统。最后，两个应用算例的渐近解的数值验证表明首阶渐近解是有效的，其最大绝对误差在数值上近似为小参数的二分之一。 第二章中，经典的Lindstedt-Poincare摄动法(LP法)和改进的LP法(MLP法)分别用于求得Duffing方程的渐近解。由Bosley提出的数值解验证技术用于证实该渐近解的定量精确度以及精确度的阶。为了更恰当地评价渐近解与数值解的误差，本文对Bosley的方法做了修正。数值阶验证表明用LP法和MLP法求得的渐近解对小参数ε都是一致有效的。两种方法的误差比较表明MLP法对大参数仍然有效但LP法对大参数失效。改进的LP法克服了经典LP仅对小参数有效的缺陷，可以应用于强非线性振动。 第三章推导通过正弦态误差反馈控制耦合的两个n维非自治混沌系统同步的充分性判据。首先由Lyaptlnov直接方法得到用矩阵不等式表示的同步判据，然后根据Gerschgorin圆盘定理简化为一些代数不等式表示的判据。为了求得这些判据，状态变量必须限制在某一区域内。相似矩阵有相同特征根的性质应用于得到一些更优的同步判据。三个实际的非自治混沌系统：二维的Mathieu-Duffing方程，三维的陀螺仪系统和四维的扩音器系统的数值仿真证实当这些同步判据满足时，耦合混沌系统确实可以达到同步。 第四章利用Lyapunov稳定性理论和Sylvester准则推导采用正弦态误差反馈控制的主-从水平平台系统混沌同步的代数判据。一些仿真算例证实这些判据的有效性。数值仿真显示同步时间随着耦合强度的增加逐渐减少并趋于一个最小值。基于反馈控制大小的度量，本文引入一个新的概念：同步成本。它用于衡量从施加反馈控制开始到达到完全同步过程中所需的控制成本。我们还数值地计算出最小的控制成本和最优的耦合强度(反馈增益)。最小的成本意味最小的能量输入，这在工程应用中是很有意义的。第五章比较目前常用的两种代数型充分性判据，它们分别根据Sylvester准则和Gerschgorin圆盘定理得到的。本文从理论上证明：根据Sylvester准则得到的充分性判据优于根据Gerschgorin圆盘定理得到的充分性判据。通过三个典型的混沌系统：二维的Duffing方程，三维的Lorenz方程和四维的扩音器系统，从理论和数值上进一步验证有关的理论结果。