最优运输问题是近几年来热门的研究领域之一，引起了大家的广泛兴趣，其原因不仅在于它与纯粹数学的联系紧密，而且在于它有着极强的应用背景。比如在不等式、几何以及非线性偏微分方程等方面，最优运输理论都与之紧密联系，此外最优运输理论还用来处理交通、城市规划、经济和图像处理中出现的一些问题。　　在最优运输问题中，经典而又基础的研究课题是对不同的费用函数考虑最优映射的存在唯一性。其中又以距离为费用函数时的最优运输问题最为困难，因为此时费用函数是凸而非严格凸的。本文考虑的具有凸约束的最优运输问题，推广了上述以距离为费用函数的最优运输问题，包含了诸如有单行线出现的更一般的运输模型。　　在欧氏空间中研究此类问题，因为凸约束的出现，导致经典的Kantorovich对偶理论及其衍生方法等主流的解决方法在处理此类运输问题时失效，再加上满足凸约束条件时的费用函数是最难处理的距离，这些使得此类运输问题的研究显得极其困难，这正是本文克服的主要难点之一。在球面上研究此类问题，一个基本问题是如何在流形上合理定义凸约束问题，这是本文克服的主要难点之二。除此之外，上述欧氏空间中出现的研究难点依然存在，并且随着空间结构变得复杂后更增加了研究的困难，这是本文克服的主要难点之三。　　本论文研究内容包括如下四个方面:一是在二维欧氏空间上的具有凸约束的最优运输问题的研究中，我们首先讨论了假设条件的几何意义，通过例子详细说明了我们所讨论问题类型的范畴，并指出该假设条件是得到经典Monge问题解的唯一性的充分条件;然后基于该有直观几何解释的假设条件，讨论了二维欧氏空间上的凸约束条件分别为为严格凸时以及一般凸约束条件时的最优运输问题解的存在唯一性;并通过构造的方法明确回答了一般凸约束条件时最优运输问题的解是不具有唯一性的。二是用不同于二维的方法，在一般的假设条件下，研究了高维欧氏空间中的具有凸约束的最优运输问题解的存在性。三是定义了切空间上的凸锥，并借助指数映射定义了流形中的测地凸锥，并讨论了测地凸锥的一些性质，并基于这些性质研究了半球面上具有凸约束的最优运输问题解的存在唯一性，这标志着对凸约束最优质量运输问题在非欧空间中的研究迈进了一步。四是归纳前三部分出现的一些规律，给出了几类运输问题解的存在唯一性的统一证明，同时指出这些结论涵括了传输理论中的一些经典结论。