众所周知,幂等元是环论中非常重要的一个概念,很多著名的环类如强正则环、exchange环、clean环等都与幂等元紧密相关。由于Abel环及quasi-abel环都是利用幂等元来直接定义的,因此对于这两类环性质的刻画十分必要。近年来,有关Abel环的研究已经有了一些结论,但仍有很多特殊的性质还未被充分探讨。本硕士论文利用环R上的相关矩阵环、多项式、幂等元以及广义逆等性质,研究了环R为Abel环及quasi-abel环的一些等价条件。本硕士论文主要分为三个部分。第一部分简述了Abel环及quasi-abel环的研究背景与发展现状,并且对本文所涉及的环论中的一些基本概念及相关结论做了陈述。第二部分主要研究了Abel环的等价刻画。首先,通过构造并探究一些与环R相关的环(集合),我们给出了环R为Abel环的一些等价条件。例如:环R是Abel环当且仅当V2(R)是Abel环,其中V2(R)是环R上对角线元素相同的2阶上三角矩阵环。其次,我们借助了幂等元的性质来研究一个环成为Abel环的条件。例如:环R为Abel环当且仅当环R中任一幂等元都可唯一地表示成一个对合元和一个幂等元之和。最后,我们利用了广义逆来对Abel环做一些新的刻画。例如:环R为Abel环当且仅当对于环R中任意元素a及幂等元e,当a‖e存在时,都有a‖ea=aa‖e,其中d‖e是a沿着e的逆元。第三部分我们对quasi-abel环做了一些刻画。首先,我们讨论了环R为quas-aibel环的一些充要条件。例如:环R为quasi-abel环当且仅当UTM2(R)为quasi-abel环,其中UTM2(R)是环R上的2阶上三角矩阵环。其次,我们借助环R中正则元、群可逆元、Moore-Penrose可逆元等元素之间的关系,研究了quasi-abel环的一些性质。例如:若环R为quasi-abel环,则环R中正则元均为群可逆元。