本文主要研究零因子图和模糊图的性质及其应用.在第2章,带有最小元0的有限拟序集Q的零因子图Γ(Q)和其线图L(Γ(Q))的一些图论性质被研究.首先,我们提出了一种方法去找出一个拟序集Q的所有极小素理想.特别地,这种方法对于偏序集也是有效的.接着,通过研究Q的极小素理想的性质,我们完全地刻画了其零因子图Γ(Q)的直径和围长.此外,对于零因子图是完全图、星图、完全二部图、完全k部图的所有有限拟序集我们给出了详细的分类,并刻画了 Γ(Q)的平面性.最后,我们研究了其零因子图的线图L(Γ(Q))的直径,围长,平面性方面的一些性质.在第3章,我们首先回顾了模糊图中模糊割集和模糊弧割的定义.为了把经典图论上的割集推广到模糊图论上,Yeh和Bang提出了模糊割集的定义.由于在一个模糊图中两个顶点之间的连通强度的减弱比图的不连通会发生的更频繁,因此,Mathew和Sunitha改进了模糊割集的定义,提出了模糊弧割.在模糊弧割的定义中,Mathew和Sunitha认为:在一个模糊图中非强边的删掉不会影响任何两个顶点之间的连通强度,所以,这样的边不需要被考虑在一个模糊弧割中.但是,我们给出了一个反例,说明这个观点是不对的.基于这个事实,我们定义了一个更广义的模糊弧割(称为模糊边割),并研究了极小模糊边割中边的类型.此外,我们给出了由两个参数决定的模糊边连通性的定义,这个定义可以使得研究边连通性更精确.模糊树、完全模糊图、模糊圈的模糊边连通性被获得,相关的算法被呈现.相比经典图的局部边连通性,模糊图的模糊局部边连通性一直没有被研究.在第4章,我们引进了模糊局部边割和模糊局部边连通性的定义,并研究了模糊边割和模糊局部边割之间的关系以及极小模糊边割和极小模糊局部边割之间的关系.关于极小模糊局部边割的权重的刻画被获得.一些特殊图的任意两个顶点之间的模糊局部边连通性的计算公式被给出.最后,我们呈现了模糊边连通性和模糊局部边连通性在通信网络方面的一些应用.在第5章,我们介绍了模糊平均边连通性的定义,此定义把平均边连通性从经典图论上推广到了模糊图论上.模糊树、完全模糊图、饱和模糊圈的模糊平均边连通性的计算公式被给出.我们讨论了边删去的模糊子图的模糊平均边连通性.模糊图的模糊平均边连通性的上下界被获得.我们也刻画了模糊平均边连通性达到下界的M-强模糊图.