本文主要研究了卷积算子的有界性和收敛性，包括点态收敛性和空间依范数收敛性，以及它们在工程中的应用.例如边界探测中的跳跃值计算以及压缩感知中稀疏信号的恢复等.全文共分为五章.　　第一章为绪论，主要引进了一些基本概念，并介绍了几类重要的函数空间及相关算子.　　第二章，讨论了Fourier乘子变换的点态收敛性.利用陈建功关于正交级数的一个定理得到了一类带参数的Fourier乘子变换的点态收敛性.相比[24]，我们减弱了函数f的条件，得到了傅立叶逆变换的可和性结果.　　第三章，我们介绍了Bochner-Riesz平均算子在各类空间中的有界性，并研究了它在各类空间中的谱，得到了Bochner-Riesz平均谱的平移不变性的一些结果.当1≤p＜∞时.在Lp上有界的Bochner-Riesz平均在Lp中的谱即为[0，1].而在Lp上无界的Bochner-Riesz平均在Lp中的谱为C.这些结果从另一个角度给出了Bochner-Riesz平均Lp有界性的一个判别法.　　第四章研究了卷积算子的导算子的收敛性，并把它运用到计算分段光滑函数在第一类间断点的跳跃值（函数在该点的右极限与左极限的差）.同时也得到了导算子序列的收敛速度.这对于边界探测是有意义的.另外，我们改进了[77]中利用共轭卷积算子来计算函数的跳跃值的方法，去掉了“卷积算子的核函数是偶函数”的假设.　　第五章讨论了利用多尺度分析构造的小波基，研究了具有小波展开的函数的收敛性，并把它运用到信号处理的压缩感知方面.对于高维小波基下稀疏信号,我们构造了一个多层一致的采样集合，使得信号能从该采样集合上的傅立叶变换的信息，通过Prony算法实现重构.并且该采样集合中的元素个数只与信号的稀疏度呈线性关系，与维数无关.