拓扑空间上连续自映射的广义周期点与混沌态研究

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1975年,李天岩与Yorke在论文“Period three implies chaos”[7]中首次给出了混沌的严格数学定义,即Li-Yorke混沌。此后,1987年周作领简化了Li-Yorke混沌的条件并且将其推广到紧度量空间上[8]。2002年黄文与叶向东在紧度量空间上给出了Li-Yorke混沌的一系列等价描述以及Li-Yorke混沌的判据[13]。在此基础上,人们自然要问:问题怎样将Li-Yorke混沌从度量空间进一步推广到拓扑空间并且在一般拓扑空间上建立混沌的数学理论?本文主要就此问题进行研究,得到了以下一系列结果:1、将以紧度量空间为底空间的动力系统的传递性、极小性、混合性等基本性质推广到第一可数空间,第二可数空间,序列紧空间等一系列更广泛的空间中,分别得到了以相应拓扑空间上传递系统、极小系统、弱混合系统的因子映射的等价描述;2、在一般拓扑空间上推广了线段连续自映射的几类广义周期点的概念,着重在序列紧空间上讨论了ω?极限集的迭代性质及其相互关系,并在满足第一可数性公理的拓扑空间上引入连续自映射的链回归点的概念,得到的主要结果是:ω?极限集非空有限当且仅当它是一个周期轨;在局部连通的序列紧空间上,如果任意连通子空间,该子空间的边界为有限集合,则系统的每一个非游荡点都是链回归点;如果空间上的连续子映射是同胚映射,则链回归点集是强不变集;对于连续子映射迭代任意自然数次后的链回归点仍为原映射的链回归点.同时,通过这些结果可自然得到在(可数)紧度量空间上成立的相关推论;3、在以上已被推广的的拓扑动力系统的内容的基础上,在满足第一可数性公理的空间上定义了关于连续自映射的邻近关系、渐近关系以及连续自映射对初值的敏感依赖性质,并证明了这一系列定义在度量空间中与原定义等价,从而进一步在第一可数空间上推广了Li-Yorke混沌的概念;4、作为上述一系列结论的应用,本文在第二可数的Baire空间上证明了以下结果:如果含有不动点的系统是拓扑传递的,且每个传递点的渐近点集都是第一范畴集,那么系统是稠密的Li-Yorke混沌的;当空间还满足序列紧条件时,如果含有周期点的系统是拓扑传递的,且每个传递点的渐近点集都是第一范畴集,那么系统是Li-Yorke混沌的.此结果可作为Li-Yorke混沌的判据,同时注意到紧度量空间是第二可数的Baire空间,故该结果是对紧度量空间中相关结果的推广。最后,本文对所做工作进行了系统的总结,对混沌理论中还需要深入研究的地方进行了展望,为将来的研究奠定了一定的基础。
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