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由金属和陶瓷组成的功能梯度材料相比于金属或陶瓷的单一材料具有更好的陶瓷热阻能力和更强的机械性能,被广泛应用于航空航天,汽车,国防工业等领域。本论文建立了圆截面柱形梁杆的高阶理论,基于该理论模型讨论了径向功能梯度圆截面梁杆的弯曲、自由振动和屈曲问题,与Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁理论等经典模型不同,我们的解可以满足梁的圆周边界自由条件。另外,提出了一种解析的积分方程方法来处理轴向功能梯度Euler-Bernoulli梁的自由振动和屈曲问题。前一部分从弹性力学基本方程出发我们得到了均匀和径向功能梯度圆截面梁的弯曲、自由振动和屈曲时的耦合控制方程,建立了圆截面梁的高阶理论；后三章主要研究材料性质轴向任意连续变化的功能梯度材料和变截面Euler-Bernoulli梁的自由振动和屈曲问题。每一章都给出了利用新方法讨论计算相关问题的数值结果,以及与精确解和其他文献的数值结果对比,这些都表明本文方法研究圆截面功能梯度梁力学性质的有效性。本文取得主要成果如下：(1)建立了圆截面梁的高阶理论。基于圆周上应力自由的边界条件,我们构造出了轴向位移的表达式,并进一步建立了关于挠度和转角的两个耦合方程,且分析了均匀圆截面梁弯曲和自由振动问题。与Euler-Bernoulli梁,Timoshenko梁理论不同的是,构建中我们既考虑了剪切变形和惯性矩的影响,又不需要做出截面上剪力恒定的假设和引入类似于Timoshenko梁中的修正剪切系数,而且满足了圆周上的边界自由条件。将著名的Levinsion梁对矩形截面的高阶理论扩展到了圆截面梁。利用高阶理论讨论圆截面梁的动静态问题与三维弹性理论得到的数值结果比较吻合。(2)利用建立的高阶理论模型分析径向功能梯度圆截面梁的弯曲、自由振动,这种径向变化可以是任意的连续变化。给出了各种常见边界条件下功能梯度梁弯曲时的应力和位移分布与自由振动的自然频率及模态特征方程,研究了幂函数梯度参数对挠度、应力分布、自然频率等影响,并将高阶理论模型应用于求解圆柱壳的自由振动问题。(3)利用建立的高阶理论研究了径向功能梯度圆截面梁的稳定性问题。给出了利用高阶理论与Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁计算功能梯度梁屈曲时的临界荷载之间的关系,研究了剪切模量和材料梯度性质对临界荷载的影响,并讨论了双壁碳纳米管的屈曲问题。(4)分析了材料性质沿轴线方向任意连续变化的功能梯度梁和变截面梁的自由振动性质。结合梁两端的边界条件利用积分方法,提出了将微分控制方程转化为对应的Fredholm积分方程,然后通过模态的级数展开使得自由振动低阶和高阶的自然频率都由特征多项式方程确定。(5)研究材料性质沿轴线方向任意连续变化的功能梯度梁和变截面梁的稳定性,以及在弹性约束下的屈曲问题。利用新方法使得临界荷载由特征多项式方程确定,而且基于这种方法我们给出了简支圆柱形变截面梁的次优化设计分析,发现存在一个最优的设计使得梁的承载能力最强。