【摘 要】
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基于对目前非线性方程组的数值求解方法的分析,求方程组全体解的问题是一个相当困难的问题,目前仍没有成熟的算法,因此蔡大用在中说,求非线性代数方程组全部解是当今的前沿性
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基于对目前非线性方程组的数值求解方法的分析,求方程组全体解的问题是一个相当困难的问题,目前仍没有成熟的算法,因此蔡大用在<[3]>中说,求非线性代数方程组全部解是当今的前沿性课题(<[3]>P119).该论文就是从这里作为切入点进行讨论的.一个求整体解的算法,可以看作一个集值映射.即:输入方程组→算法→输出该方程组的全体解.因为机器计算时方程组中蕴含的常数可能产生小扰动.因此首先必须考虑求整体解算法的稳定性问题.该文定义两类性质的算法:1.算法A.它输出方程组的精确解集;2.算法B.它输出方程组的近似解集.并用集值映射的方法得出了下面结论:1.对于算法A有:a).算法A在Baire分类意义下,具有通有稳定性.b).在算法A下,存在不可整体逼近的情况,并给出了一个充分条件.在此条件下指出有些文章中建议把方程组求解化为最优化问题求解是不妥当的.因为此时若方程组的解若不唯一,则方程组的解都是最优化问题的非本质解.2.对于算法B有:a).算法B在Baire分类意义下,同样具有通有稳定性.并且在此算法下所有精确解都是本质的,因而不断减少精度指标,可整体逼近精确解.b).利用算法B,可建议基于数论网格算法去求较多的近似解从而逼近精确解.文章最后给出了一个数论网格与迭代法结合使用的算法,此算法实际上是为迭代法提供较好的初值点,然后用迭代法逐个求解.通过几个算例的计算,说明该算法是十分有效的.
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