经典力学有三个等价的表示形式：牛顿力学、拉格朗日力学以及Hamilton力学.这些不同的数学形式陈述着同一个物理规律,由于表示形式不同,它们对解决实际问题会提供不同的途径.因此,等价的数学形式在实践中可能是不等效的.Hamilton系统是一类重要的动力系统.一切真实的、耗散可以忽略不计的物理过程都可以表示成Hamilton系统.传统的数值方法尽可能地降低方法的近似所带来的计算误差,然而并不能保持系统的某些重要结构（如辛或多辛结构）,只适用于短时间积分.因此设计长期保持问题内在的物理性质或几何性质的算法就成为一种迫切需要.近年来,人们对求解Hamilton常微分系统的辛积分方法进行了系统深入研究.理论与实践证明,辛方法在保持Hamilton系统解的定性性质方面要比非辛方法优越得多,这种优势在长时间积分中尤其明显.另一方面,作为Hamilton常微分方程的自然推广,Hamilton偏微分方程在时间和空间上都定义了辛结构,这种结构称为多辛结构.如何稳健地求解Hamilton偏微分方程是当今偏微分方程数值解中具有挑战性的课题之一.与求解Hamilton常微分方程一样,我们希望所谓的多辛算法在数值求解Hamilton偏微分方程时,能够保持其多辛结构.本论文分为三章.第一章简要回顾了求解Hamilton系统的辛／多辛算法的相关背景知识.首先介绍了Hamilton系统和辛空间的基本性质,以及求解Hamilton系统常用辛算法,包括辛Runge-Kutta方法、辛分块Runge-Kutta方法以及辛Runge-Kutta-Nystrom方法.然后介绍了多辛Hamilton系统的守恒律,以及常用的多辛算法.第二章在文献[44]的基础上研究求解振荡Hamilton常微分方程的辛与渐近辛ERKN方法.针对一维以及高维对角情形得到了ERKN方法的辛条件,定义了渐近辛的概念,并构造了三阶和五阶渐近辛的方法.对一维谐振子和高维受扰动振荡系统实验结果表明,新方法更适用于对具有振荡解的初值问题进行长时间计算.第三章研究了Hamilton波方程的多辛格式.针对波方程的振荡特性,证明了分别在时间和空间上应用两个辛指数拟合RKN格式进行离散,或者一个方向用辛指数拟合RKN离散而另一个方向用辛分块Runge-Kutta离散,都可以得到多辛积分.据此,基于辛指数拟合RKN格式和辛Euler格式构造了两类多辛指数拟合格式.数值实验验证了新方法的有效性和相对于它们的原型方法及蛙跳格式的优越性.最后对本文的主要内容作了总结,并展望辛算法与多辛算法未来发展的几个可能的方向.