一个映射的不动点的存在性常与空间的凸性有关。本文第一章沿着通过推广凸性来推广一些经典结果的思路，展开了对抽象凸空间的一些问题的研究，在第一章第三节中给出了几个关于KyFan不等式的结果。半连续性的推广也是研究非线性问题的另一可行途经，Zhou和Tian等人提出的可转移半连续性，为我们提供了一个具体的思路和方法。本文的第一章第四节将可转移半连续性与抽象凸结合进行研究，给出了几个有关的结果。第一章第五节利用通过研究逼近连续选择来研究集值映射的不动点这一有效方法，展开对抽象凸度量空间背景下的上半连续的集值映射的研究，得到了两个关于上半连续集值映射的连续选择和相应不动点的结果。 第二章中尝试从系统的角度对抽象凸空间中的纳什平衡作了一些研究，给出了一个存在性的充分条件；并且尝试对抽象凸的度量空间中的情形作了研究，也得到了一个相应的结果。 鞍点在数学规划、极值问题和对策论的研究中具有重要作用。第三章首先对抽象凸空间上的2人零和对策的鞍点作了研究，给出了几个结果。进而对定义在线性拓扑空间上的具有拟凸或拟凹性质的函数的鞍点的集合作了一些研究，给出一些揭示其几何特征的结果，并对二维及三维情形给出了一些直观性结果。