四元数是在1843年由英国数学家哈密尔顿首先发现的。四元数的发现是数学史上的一个重大事件。四元数在代数学、几何学、物理学、工程技术等方面有着广泛和重要的应用。特别是近年来,四元数在计算机科学,工程技术中的应用越来越多,更加受到人们的重视。矩阵分解是矩阵理论的一个重要内容。矩阵的奇异值分解不仅是矩阵理论和矩阵计算的最基本和最重要的工具之一,而且在控制理论、系统辨识、信号处理、最优化问题、特征值问题、最小二乘问题以及统计学等方面都有直接而重要的应用。本文主要讨论了四元数矩阵奇异值分解的算法及其应用。一方面,借助于四元数矩阵的复表示,利用四元数友向量的性质构造性地证明了四元数矩阵的奇异值分解定理,在此基础上实现了四元数矩阵奇异值分解的算法。另一方面,本文借助于复数矩阵的Householder变换将四元数矩阵的复表示矩阵约化为双对角矩阵,然后对Householder变换约化出的双对角矩阵进行奇异值分解,得到四元数矩阵奇异值分解的奇异值,在四元数矩阵及其复表示矩阵结构关系的意义下构造左右奇异值向量,给出了四元数矩阵奇异值分解的另一个算法。在应用方面,本文介绍了四元数矩阵的彩色图像模型,讨论了四元数矩阵的奇异值分解与彩色图像的特征、彩色图像重构和彩色图像去噪等问题。在彩色图像去噪的效果上,本文提出了分块四元数矩阵奇异值分解的方法,使得去噪后图像的信噪比有所提高。本文对文中提出的算法给出了数值算例,而且,在Matlab7.0编程环境下,利用这些算法进行了编程,将这些算法和程序应用到彩色图像的处理之中,这也进一步证实了本文给出的四元数矩阵奇异值分解的算法是可行的、有效的。