【摘 要】
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有限域上的优码和渐近优码、近似对称信息完备的正定算子值测量（ASIC-POVM）、置换多项式在通信和密码领域都有着重要应用.本文主要对有限域上的q元量子码、渐近优的分数指数的1-生成元拟循环码（quasi-cyclic codes）、ASIC-POVM、置换三项式等四个方面进行了研究.一、通过对模n的q2-分圆陪集的分析,给出了判断循环码是对偶包含码的一个充要条件,利用量子码的Hermitian构
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有限域上的优码和渐近优码、近似对称信息完备的正定算子值测量（ASIC-POVM）、置换多项式在通信和密码领域都有着重要应用.本文主要对有限域上的q元量子码、渐近优的分数指数的1-生成元拟循环码（quasi-cyclic codes）、ASIC-POVM、置换三项式等四个方面进行了研究.一、通过对模n的q2-分圆陪集的分析,给出了判断循环码是对偶包含码的一个充要条件,利用量子码的Hermitian构造得到了几类量子MDS码;另外,本文得到若干关于循环码的计数结果,以及从一个已知的Hermitian对偶包含的循环码构造出一系列对偶包含的循环码的递归构造方法.二、研究了Rkm×Rlm=Fq[X]/<Xkm-1>× Fq[X]/<Xlm-1>中指数为任意分数的1-生成元拟循环码,得到了它们的校验多项式和编码函数.通过这个编码函数我们将Rkm ×Rlm中指数为分数的拟循环码和Rm×Rm中指数为2的拟循环码联系起来,进一步利用渐近优的指数为2的拟循环码构造了一系列渐近优的指数为分数的拟循环码.三、利用有限域上的两类特殊函数的指数和,即PN函数的加法特征和和PF函数的混合特征和,分别构造了Cq和Cq-1上的一类ASIC-POVM.首先计算了这两类特殊函数对应的特征和,其次以特征和的加项作为向量的分量构造POVM元素.对于第二类构造,本文证明了PF函数具有两条递归性质,从而得到了几类分别包含无穷多的ASIC-POVM的序列.四、研究了有限域上的置换三项式的构造问题.通过将三项式改写成分式多项式,将问题转化为研究有限域上d次单位根群μd的置换问题.通过将从进行分段,证明了转化后的分式多项式是μd上的分段置换多项式,进而得知原来的三项多项式是置换多项式.利用这个方法,构造了F52k上更多的新的置换三项式.最后,利用自反多项式,本文首次给出了置换多项式的一种递归构造方法.
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