【摘 要】
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本文研究了随机系统的不定LQ控制问题,包括带跳平均场随机系统的不定LQ控制问题、无穷时域平均场随机系统的不定LQ控制问题、平均场倒向随机系统的不定LQ控制问题、具有不对称信息的广义不定LQ控制问题,以及部分信息下倒向随机系统的LQ控制问题.本文具体研究内容,研究成果以及创新点按照章节顺序包括如下几个方面:1.利用等价成本泛函方法研究了带跳平均场随机系统的不定LQ控制问题.通过引入可逆线性变换,得到
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本文研究了随机系统的不定LQ控制问题,包括带跳平均场随机系统的不定LQ控制问题、无穷时域平均场随机系统的不定LQ控制问题、平均场倒向随机系统的不定LQ控制问题、具有不对称信息的广义不定LQ控制问题,以及部分信息下倒向随机系统的LQ控制问题.本文具体研究内容,研究成果以及创新点按照章节顺序包括如下几个方面:1.利用等价成本泛函方法研究了带跳平均场随机系统的不定LQ控制问题.通过引入可逆线性变换,得到了标准假定下平均场LQ控制问题的反馈最优控制.不同于求解LQ控制问题的经典方法,我们的线性变换方法更加便于计算.在权重矩阵不定情形下,我们构造一族等价成本泛函.通过寻求满足标准假定的等价成本泛函,得到原不定LQ控制问题的反馈最优控制.值得注意的是,我们的理论结果提供了验证平均场FBSDE唯一可解性新的有效途径.具体地说,某些情况下,平均场FBSDE可以看作是平均场LQ控制问题对应的随机Hamiltonian系统.从而,可借助等价成本泛函方法求解相应的LQ控制问题,得到原平均场FBSDE的唯一可解性.最后,我们通过几个例子说明了理论结果.2.研究了无穷时域平均场随机系统的不定LQ控制和可镇定问题.受等价成本泛函方法的启发,通过探讨有限时域平均场LQ控制问题相应的Riccati方程的渐进性质,得到了广义代数Riccati方程,并研究了其稳定解和最大解.进一步的,我们建立了权重矩阵正定和不定情形下无穷时域平均场LQ控制问题对应的代数Riccati方程之间的关系.借助这一关系,我们首次得到了权重矩阵不定情形下,平均场随机系统可反馈镇定的充分必要条件.由于平均场项的出现,所得到的广义代数Riccati方程部分耦合.另一方面,在证明系统可反馈镇定的过程中,需将状态过程分解.3.研究了平均场倒向随机系统的不定LQ控制问题.在成本泛函一致凸条件下,建立了平均场倒向随机系统与正向随机系统的LQ控制问题之间的关系.基于此,通过两个给定终端值的Riccati方程、伴随过程和一个平均场BSDE,得到了最优控制和最优成本.为了求解最优控制的反馈表示,我们引入两个给定初始值的Riccati方程和一个平均场SDE.借助等价成本泛函方法,证明了初始值给定的Riccati方程的唯一可解性,从而首次得到了最优控制的反馈表示.另一方面,借助Riccati方程,我们首次给出了成本泛函一致凸的充分性条件.4.研究了一类广义的不定LQ控制问题,系统中两个协同控制器具有两种类型的约束:可容许性约束和信息约束.通过完全平方法和变分技术推导了相应的随机最大值原理.不同于已有文献,此时随机Hamiltonian系统中涉及投影和条件期望算子.针对信息约束的情形,随机Hamiltonian系统包含两种不同的滤波,这给其解耦带来困难.为了克服这一难点,我们引入了三个不同的条件期望项.通过解耦随机Hamiltonian系统,得到了一个Lyapounov-Riccati系统,其中包含一个Lyapounov方程和三个Riccati方程.我们首次建立了 Lyapounov-Riccati系统可解性与成本泛函一致凸性之间的等价关系.基于Lyapounov-Riccati系统的解,给出了最优控制和最优成本,并首次提出了LQ控制问题的信息冗余和单调性.最后,我们将理论结果应用于解决一类资产管理问题.5.研究了部分信息下倒向随机系统的LQ控制问题.利用完全平方法和随机最大值原理,得到了最优控制满足的充分条件和必要条件.不同于正向随机系统的控制问题,我们得到的随机Hamiltonian系统是具有滤波的初始端耦合FBSDE.为了得到最优控制的反馈表示,我们对随机Hamiltonian系统进行两次解耦,得到了一个Lyapounov方程、两个Riccati方程、一个含滤波的BSDE和一个含滤波的SDE.基于Lyapounov方程,Ricacti方程,BSDE和SDE的解,建立了最优控制的反馈表示和最优成本的具体表达式.最后,通过两个LQ控制问题的例子说明了我们的理论结果.相比于前人的研究结果,我们只需要对系统方程和成本泛函施加一些常规假设,并首次给出了含滤波的BSDE的唯一可解性.
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