【摘 要】
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分数阶微分方程在数学和物理领域有着非常广泛的应用,可以更加准确地描述一些反常扩散现象.然而不同于整数阶导数,时间分数阶导数在初始时刻具有奇异性和记忆性,空间分数阶导数具有非局部性,所以通常情况下往往很难求得方程的精确解,因此分数阶方程的数值解算法成为研究者关注的焦点.众所周知,能量是非常重要的物理不变量,所以研究方程的耗散性和保能量的数值方法就具有重要的理论意义和实际应用价值.鉴于此,本学位论文主
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分数阶微分方程在数学和物理领域有着非常广泛的应用,可以更加准确地描述一些反常扩散现象.然而不同于整数阶导数,时间分数阶导数在初始时刻具有奇异性和记忆性,空间分数阶导数具有非局部性,所以通常情况下往往很难求得方程的精确解,因此分数阶方程的数值解算法成为研究者关注的焦点.众所周知,能量是非常重要的物理不变量,所以研究方程的耗散性和保能量的数值方法就具有重要的理论意义和实际应用价值.鉴于此,本学位论文主要研究两类分数阶方程的数值方法,即重点研究时间分数阶次扩散方程的数值耗散性以及空间分数阶Schr（?）dinger方程的能量守恒性.主要内容和研究结果如下:1.针对时间分数阶次扩散方程,研究了方程在L2（Ω）中的耗散性,并证明了方程的解的衰减率为t-α,0<α<1,这与整数阶的指数衰减有本质区别.随后分别利用L1方法和有限元方法对时间Caputo导数和经典的空间Laplace算子进行离散,证明了该格式的数值耗散性.最后通过数值算例证实了理论结果的正确性.2.针对空间分数阶非线性Schr（?）dinger方程,建立了对于任何次幂的非线性项都具有守恒性质的松弛方法.通过引入一个新的变量,构造离散方程的向量形式并详细证明了该松弛格式关于三次幂Schr（?）dinger方程的时间收敛阶.数值结果表明所建立的数值格式不仅是能量守恒的而且关于时间是二阶收敛的,这与所论证的理论结果相吻合.3.针对空间分数阶非线性对数Schr（?）dinger方程,首先引入一个小的参数0<ε<<1,消去对数函数在零点的奇异性,并证明了带参数的逼近方程的解收敛到原方程的解.然后对方程构造正则化的分裂谱方法,得到数值方法的收敛阶.数值试验表明,用分裂谱方法所建立的数值格式具有能量守恒性质,证实了理论分析的正确性.
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