拟共形映照理论是复分析领域中一个非常重要的分支，而且交叉渗透到微分几何、偏微分方程、拓扑学等其它数学学科中，同时广泛应用于弹性理论、流体动力学、自动化工程学，动力系统和生物学等应用学科。因此研究拟共形映照理论及其应用具有重要的意义。本文旨在研究拟共形映照的极值理论和拟共形映照在调和映照中的应用。首先，对唯一极值的Beltrami系数，我们给出了判别截尾所诱导的Teichmüller等价类为Strebel点的一个充要条件，并利用它提供了Hamilton序列的一种构造方法；而且通过截尾型的Beltrami系数给出了一个充分条件用于判别由L(?)wner方程决定的拟共形映照和拟共形形变两者的极值性是等价的。其次，通过研究C~2-Teichmüller映照的调和性，证明了在C~2-Teichmüller映照类中不存在Schoen猜想的解．然后，针对调和拟共形映照的具体问题分别建立了相应的微分方程，证明了奇的C~2类拟对称同胚的Beurling-Ahlfors延拓不是Schoen猜想的解；以及上半平面到自身上的π调和拟共形映照的逆只有共形映照是Schoen猜想的解等结果．全文共分五章。第一章是本文的绪论。从拟共形映照的起源、定义、性质、和应用四个方面简要地介绍了拟共形映照的历史背景和研究意义，并阐述了本文研究问题的由来和现状以及主要结果。第二章研究拟共形映照的一些极值问题。我们给出了一个充要条件用于判别由唯一极值Beltrami系数诱导的截尾α的Teichmüller等价类[α]是否是T中的一个Strebel点；同时也得到了判别α的唯一极值性的充要条件。利用截尾的这些性质我们提供Hamilton序列的一种构造方法；给出了拟共形形变F(w，t)的极值性等价于由L(?)wner方程确定的拟共形映照解f(z，t)的极值性的一个充分条件。另外，无限小极值情形下的一些对应结果也被给出。第三章研究Teichmüller映照与调和映照的关系．我们给出了一个C~2-Teichmüller映照为ρ调和的充要条件。利用这个结果我们证明了在C~2-Teichmüller映照类中不存在Schoen猜想的解；另外我们还获得π调和映照的两个特征。第四章研究Beurling-Ahlfors延拓和调和映照的关系。首先，给出了Beurling-Ahlfors延拓是关于双曲度量调和的一个必要条件。特别地，若边界对应h是C~2和奇的，则其Beurling-Ahlfors延拓不是关于双曲度量调和的。其次，证明了若h是分段C~2的则其Beurling-Ahlfors延拓不是π调和的除非h(x)=ax+b，x∈R。第五章研究可逆调和拟共形映照。首先，我们利用(?)和(?)能量密度建立了(ρ，σ)可逆调和微分同胚满足的偏微分方程。作为这个结果的一个应用，证明了上半平面到自身上的π调和拟共形映照f的逆是关于双曲度量调和的当且仅当它是共形的。作为这个结果的另一个应用，我们获得了由调和映照提升的最小曲面是一张平面的一个新的充要条件。