全同态加密在安全多方计算、云计算等实际应用中有重要的价值。2009年Gentry构造出第一个全同态加密方案,基于该方案的构造思想,学者们随后设计了许多改进方案,但针对全同态加密的研究整体上仍处于探索阶段,没有大的突破。考虑到方案的安全性,一般在加密算法中会加入噪声项,然而噪声会随着同态运算不断增长,导致解密失败。为了控制噪声的增长,需要做密文更新,导致方案的构造方法复杂,效率低下。因此打破以往的构造模式,设计不需要密文更新且仍有噪声项的全同态加密方案是迫切的。在安全多方计算等实际应用中,加密方案通常不需要对密文进行任意次计算,有限次即可,所以设计高效、易于实现的部分同态加密方案也具有广阔的前景。鉴于此,本文的主要研究工作如下:(1)基于小整数解问题与错误学习问题,构造了一个部分同态加密方案,明文M可取自Zqm×m,并分析了方案的正确性、同态性及安全性。与Gentry等人在2010年设计的方案相比,加同态次数从有限次扩展到任意次,明文消息空间从Z2m×m扩展到Zqm×m;(2)基于小整数解问题与错误学习问题,构造了一个自然、直观的全同态加密方案,该方案仍有噪声项并且不需要密文更新,明文m可取自Zqm,并对方案的正确性、同态性及安全性进行了分析。与典型的三类全同态加密方案相比,该方案的优势在于:构造模式自然、直观,不需要密文更新;噪声项通过密钥的线性变换得到,同态运算后不影响解密的正确性。存在的问题是:密钥生成算法比较复杂;噪声项不是随机选取的。