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本文主要利用位势井理论和泛函分析,并结合Galerkin方法以及凹函数方法,针对一类具强阻尼的四阶波动方程的超临界能级解的有限时间爆破、一类具非线性弱阻尼的四阶强耗散应力波动方程的适定性问题和一类具非线性源的随机波动方程的适定性问题展开研究,目的在于揭示解的定性性质对初值的依赖性以及不同因素对解的性质的影响。针对具强阻尼的四阶波动方程在超临界能级解的爆破情况进行了研究。本章结合辅助函数的单调性证明超临界能级状态下不稳定集合关于时间的不变性,利用改进后的凹函数方法得到超临界能级解的有限时间爆破结果。此外,本章还给出了爆破时间上界的估计。针对具非线性弱阻尼的四阶强耗散对数应力波动方程的初边值问题在全能级状态下解的定性性质进行研究。本章利用Galerkin方法证明相应线性常微分方程的定解问题,在此基础上结合压缩映像原理证明解的局部存在,并就该问题构造相应的位势井理论框架以得到能量泛函,势能泛函,Nehari泛函,位势井深及相关性质,结合适当的初始条件,利用有界性原理和泛函分析理论得到次临界能级、临界能级解的整体存在性及超临界能级解的有限时间爆破。针对一类具非线性多项式源的随机波动方程的初边值问题进行研究。本章通过Galerkin逼近方法证明解的局部存在,在此基础上进一步说明解的整体存在性,并结合能量不等式与位势井理论及凹函数方法证明随机方程的解在能量意义上是正概率爆破。