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自从M. R˙uˇziˇcka首先提出电流变流体运动模型后，许多研究者致力于研究变指数增长问题并得到很多重要的结果。变指数增长问题除了在非线性流体力学、图像处理等方面具有重要的实用价值外，在研究这些问题过程中提出的一些新的理论与方法极大地丰富了数学理论。目前许多重要的结果主要集中在椭圆型偏微分方程，然而在具有变指数增长的抛物与双曲问题方面仅有少数结果。 本文主要在变指数框架内对几类具有变指数增长的非线性发展方程与发展变分不等式解的存在性进行研究。 首先，对一类抛物型变指数空间X(QT)的基本性质如自反性、完备性、稠密性等进行研究。得到X(QT)中一个紧嵌入定理。然后，给出X(QT)的对偶空间X′(QT)的基本刻画并引入由X(QT)及其对偶空间X′(QT)构成的新空间W(QT).与此同时，给出W(QT)的基本性质以及分部积分公式。 其次，在一个生物种群模型基础上，对一类具有变指数增长的Kirchhoff型抛物方程弱解的存在性进行研究。分两种情况讨论该问题。第一种情况，研究右端项为线性增长的非局部(Kirchhoff型)抛物方程弱解的存在性。通过选取L2(?)中的光滑正交基，利用常微分方程解的存在理论得到光滑性较好的Galerkin逼近解。然后利用先验估计以及单调算子理论得到弱解的存在性。第二种情况，讨论具有非线性增长条件的抛物方程，利用Galerkin逼近来探讨弱解的存在性。然而，在所给出的条件下，只能得到弱解的局部存在性，即存在某个常数T0>0使得方程在0
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