【摘 要】
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本文主要研究下列三种类型具阻尼的Kirchhoff型方程的适定性,正则吸引子的存在性及其稳定性.具体内容如下:1.对于具有强阻尼的Kirchhoff型波动方程（?）其中（?）∈[0,1],我们证明了当非线性项h（s）和g（s）的增长阶指标和都达到临界,即1≤q,p≤（N+2）/（（N-2）+）时,解在相空间 χ=H01×L2中的整体适定性;当t>0时,解具有更高的部分正则性,即类抛物性质;利用解在
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本文主要研究下列三种类型具阻尼的Kirchhoff型方程的适定性,正则吸引子的存在性及其稳定性.具体内容如下:1.对于具有强阻尼的Kirchhoff型波动方程（?）其中（?）∈[0,1],我们证明了当非线性项h（s）和g（s）的增长阶指标和都达到临界,即1≤q,p≤（N+2）/（（N-2）+）时,解在相空间 χ=H01×L2中的整体适定性;当t>0时,解具有更高的部分正则性,即类抛物性质;利用解在相空间χ中的Lipschitz连续性和强拓扑空间H01×H01中的正则性,得到了解算子半群在自然能量空间χ中的有限维整体吸引子的存在性和关于扰动系数∈的上半连续性;利用解在相空间χ中的拟稳定估计,得到了指数吸引子的存在性及其关于的稳定性.见第三章.2.对于具有结构阻尼的Kirchhoff型波动方程（?）其中（?）∈[0,1],α∈（1/2,1）,我们证明了当非线性项h（s）和g（s）的增长阶指标和分别满足条件:当N=1时,1≤q≤3;当N≥2时,1≤q<qα≡（N+α）/（N-α）,1≤p≤（N+2）/（（N-2）+）的情况下,解在相空间χ=H01×L2中存在唯一弱解;当t>0时,解具有更高的整体正则性（而不是部分正则性）,由此可以证明该弱解恰为强解;利用解在弱空间中的Lipschitz连续性和在强拓扑空间中的正则性,得到了对应的解算子半群在自然能量空间χ中的整体吸引子的存在性,以及整体吸引子分别关于耗散指标α和扰动系数（?）的上半连续性;利用解在弱空间中的拟稳定估计,得到了指数吸引子的存在性及其关于（?）的稳定性;还得到了正则吸引子（即吸引子的紧性、吸引性和分形维数的有限性都在正则性更高的空间中）的存在性.见第四章.3.对于具有温和阻尼的可伸缩梁方程（?）其中θ∈（0,1）,我们证明了当非线性项f（s）的增长阶指标p满足1≤p<（N+4θ）/（（N-4）+）(特别地,若f为真正源项,此时,（?）=Sm/2,s∈R+,当N≤2时,1≤p<m+1;当N≥3时,1≤p≤（N+2）/（N-2）且p<m+1的情况下,方程在相空间χ=V2×L2中存在唯一弱解;利用当t>0时解具有更高的整体正则性的结果,证明了该弱解恰为强解;利用解在弱空间中的Lipschitz连续性和在强拓扑空间中的正则性,得到了对应的解算子半群在自然能量空间χ中的整体吸引子的存在性及其关于耗散指标的上半连续性;利用解在弱空间中的拟稳定估计,得到了指数吸引子的存在性及其关于的稳定性;还得到了正则吸引子的存在性.见第五章.
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