【摘 要】
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近来,出现了许多新的有关beta函数和超几何函数的扩展形式。这些扩展的beta函数的构造主要依赖于在原来beta函数的积分表示中插入一个指定的积分核。有了扩展的beta函数以后,
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近来,出现了许多新的有关beta函数和超几何函数的扩展形式。这些扩展的beta函数的构造主要依赖于在原来beta函数的积分表示中插入一个指定的积分核。有了扩展的beta函数以后,我们就可以定义一种与之对应的超几何函数的扩展形式。受到这些想法的启发,我们试图构造一类新的扩展的超几何函数,并使得大量已知的函数可以归结为这类新函数的特殊形式。在本文中,我们首先构造了一种新的Gauss超几何函数的扩展形式。许多重要的基础性结果,包括其Euler型积分表示、导数公式、Mellin-Barnes积分表示等,都被一一建立。针对一些特殊情况,我们证明了,例如广义的Euler变换、求和公式,以及H-函数表示等较为深奥的结论。接下来,作为通常的广义超几何函数的扩展形式,我们定义了扩展的广义超几何函数。随后给出的一系列等式以及它们与分数阶算子之间的内在联系凸显了这种函数的重要性。此外,依赖于这种推广方法,我们还得到了一些关于Appell和Lauricella超几何函数的扩展。我们不仅证明了与之有关的众多基本性质,还通过使用分数阶积分算子给出了一系列有用的生成函数。
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