不等式是初等数学的核心内容之一,是锻炼学生代数运算与逻辑推理能力的绝好素材,不等式也是高等数学中研究“分析”的重要工具,是进一步学习近现代数学甚至其它学科的重要基础和工具.在整个数学知识体系中占有一席之地,是数学基础理论的重要内容.有关一元的不等式问题大都用函数的观点解决;关于n元不等式问题灵活多变,技巧性强,是目前国内外研究的热点主题,难度颇大;然而,关于二元、三元的不等式问题虽然也灵活多变,但相对于n元不等式却较为具体和系统,相对也更具趣味性,而且大量三元不等式与三角形中有关内角三角函数的恒等式或不等式联系非常紧密,同时,各级各类数学竞赛中有大量的数学竞赛中经典的三元代数不等式可以找到其三角不等式背景,而且,利用已有三角不等式也可以系统地生成三元代数不等式,其中,不少三元代数不等式形式优美简洁,可以供各级各类数学竞赛作为试题选拔学生.本文旨在通过两个方面揭示它们之间的内在联系,一方面,由简单三角不等式引致优美的代数不等式,主要有两条途径:一是用经典的“内切圆代换”a = y + z,6 = z + x,c = x +y,然后将A/ABC三内角或半角相关的三角函数值用x,y,z的代数式表达,进而将有关A,B,C的简单三角不等式转化为x,y,z的优美代数不等式;二是以△ABC中常见三角恒等式为代换基础,引入变量x,y,z,然后将其余的△ABC三内角或半角相关的三角函数值用代换的变量予以表示,进而将简单三角不等式转化为x,y,z的三元代数不等式.另一方面,由优美的三元代数不等式,我们也可以考虑通过代换寻找其等价的三角不等式形式,这也是数学竞赛命题的一种惯用手法.理论与实践相结合,我们拟给出两个具体的研究案例,一是对2002年一道伊朗的数学奥林匹克代数不等式试题进行变式探究,利用常见的三角不等式,结合三角代换进行变式探究,得到了大量新的代数不等式,而且不少结果与往年的数学竞赛试题不谋而合.二是对1996年一道伊朗的数学奥林匹克代数不等式试题进行变式探究,利用常见的三角代换进行变式探究,得到了大量新的三角不等式.对具体案例的研究,我们旨在更具体地揭示三角不等式与代数不等式之间的紧密联系.这对于竞赛数学的解题和命题以及研究性学习均有一定的参考价值.