不等式是解决很多数学问题的重要工具,譬如Jensen不等式,Holder不等式,Minkowski不等式,Sobolev不等式等等,在数学分析中起着非常基本的作用。它们尤其是偏微分方程中不可或缺的工具。Sobolev不等式的一个特点,就是非常依赖于欧式空间的维数。在量子场理论中,由于很多需要解决的问题都有无穷多的维度,因此各种维数无关的不等式,譬如对数型Sobolev不等式,显得格外重要和有用。在本文中,作为一个初等的尝试,我们证明在任意的Hilbert空间H中成立如下的不等式:其中λ>-1/2,x,y是H中任意两点,c1,c2是两个仅依赖于γ的正数。我们的不等式来源于人们对p-调和映照正则性的讨论。p-调和映照是调和映照的自然推广,与之相关的Euler-Lagrange方程也是最接近调和映照方程的一类二阶椭圆方程。人们预料p-调和映照与调和映照有着十分相似的性质,并为之做出了很多研究。在Giaquinta-Modica[27]与Acerbi-Fusco[32]的论文中,为了得到从欧式空间到欧式空间的一类p-Laplace类型的非线性泛函的极小元的高阶正则性,他们使用了一致二阶椭圆方程中常见的差商方法。而此方法可行的关键在于p-Laplace类型算子的单调性。为此他们证明了不等式(*)对所有的x,y ∈ Rn成立,其中c1,c2依赖于维数n与γ。注意到他们证明的上述常数c1,c2不仅依赖于γ,还依赖于维数n。因而我们的结果可以看做是对他们的不等式的推广和优化。